Exercícios Resolvidos de Teste da integral

USP, Cálculo 4, P1 - 2013, Questão 2b

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

n = 0 n e - n 2

Passo 1

Poo, essa série é boa de integrar. Isso porque a derivada de - n 2 vai ser - 2 n , que é parecido com aquele n , então uma substituição simples vai resolver essa parada.

Vamos usar o critério da integral!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos ver se essa série é decrescente. Tomando f x = x e - x 2 , vamos olhar a sua derivada

f ' x = 1 e - x 2 + x - 2 x e - x 2

f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2

O sinal da derivada vai depender do sinal de 1 - 2 x 2 . Se liga que

1 - 2 x 2 > 0 x 2 < 1 2 - 1 2 < x < 1 2

E vai ser negativo no resto. Como o nosso x vai começar no 0 , a derivada vai ser negativa desde x = 1 até o final. Isso serve para nós.

Passo 3

A integral imprópria é:

0 x . e - x 2 d x = lim b 0 b x . e - x 2 d x

Usando uma substituição simples:

u = - x 2 d u = - 2 x d x

Se u = - x 2 então quando x = b o u = - b 2

0 - b 2 - e u d u 2 = - e u 2 0 - b 2 = - e - b 2 2 + e 0 2 = 1 2 - e - b 2 2

Mas sabemos que b

Logo

0 x . e - x 2 d x = 1 2 - 0 = 1 2

Como a integral é convergente, a gente conclui que ela converge absolutamente pelo critério da integral. Então galera, quando ela tiver uma cara de que é boa pra integrar, é bom ver se ela é decrescente

Resposta

Converge absolutamente.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas