Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2016.1, Questão 1c

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

m = 1 1 m + 1 ( ln m + 1 ) 3

Passo 1

Vamos utilizar o teste da integral para ver se b n converge. Primeiro devemos ver se o termo geral vai a zero e se a função é decrescente.

b n = n = 1 1 ( n + 1 ) ( ln m + 1 ) 3

  • l i m n b n =   lim n 1 ( n + 1 ) ( ln m + 1 ) 3 = 0

Vemos claramente que f x é decrescente.

Assim, aplicando o teste:

1   1 ( x + 1 ) ( ln x + 1 ) 3 d x  

Fazendo u = ln ( x + 1 ) e 1 x + 1 d x = d u temos:

1 1 ( x + 1 ) ( ln x + 1 ) 3 d x =   ln 2   1 u 3 d u =   - 1 2 u 2 ln 2 = 1 2 ln 2 2

Logo essa série converge.

Além disso, como:

1 m + 1 ( ln m + 1 ) 3 = 1 m + 1 ( ln m + 1 ) 3

A série converge absolutamente.

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Resposta

A série converge absolutamente.

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