Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

∑ m = 1 ∞ 1 m + 1 ( ln ⁡ m + 1 ) 3

Passo 1

Vamos utilizar o teste da integral para ver se b n converge. Primeiro devemos ver se o termo geral vai a zero e se a função é decrescente.

b m = ∑ m = 1 ∞ 1 ( m + 1 ) ( ln ⁡ m + 1 ) 3

  • l i m m → ∞ b m =   lim m → ∞ ⁡ 1 ( m + 1 ) ( ln ⁡ m + 1 ) 3 = 0

Vemos claramente que f x é decrescente.

Assim, aplicando o teste:

∫ 1 ∞   1 ( x + 1 ) ( ln ⁡ x + 1 ) 3 d x  

Fazendo u = ln ⁡ ( x + 1 ) e 1 x + 1 d x = d u temos:

∫ 1 ∞ 1 ( x + 1 ) ( ln ⁡ x + 1 ) 3 d x =   ∫ ln ⁡ 2 ∞   1 u 3 d u =   - 1 2 u 2 ln ⁡ 2 ∞ = 1 2 ln 2 ⁡ 2

Logo essa série converge.

Além disso, como:

1 m + 1 ( ln ⁡ m + 1 ) 3 = 1 m + 1 ( ln ⁡ m + 1 ) 3

A série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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