Exercícios Resolvidos de Teste da integral

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 667, exercício 16

Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

n = 1 n 2 n 3 + 1

Passo 1

Olhando para a série, identificamos

a n = n 2 n 3 + 1

Assim, podemos definir

f x = x 2 x 3 + 1

O que nos dá f n = a n .

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Passo 2

Agora precisamos determinar se essa função é decrescente! Por isso devemos calcular a derivada de f usando a regra do quociente

f ' x = 2 x x 3 + 1 - x 2 3 x 2 x 3 + 1 2 = - x 4 + 2 x x 3 + 1 2 = x - x 3 + 2 x 3 + 1 2

Como o denominador é sempre maior que zero, pois está elevado ao quadrado, devemos garantir que o numerador é negativo!

Se x > 2 3 , o numerador será negativo e a função será decrescente!

Passo 3

Vamos, agora, calcular a integral com intervalo limitado.

1 b x 2 x 3 + 1 d x

Veja, podemos definir

x 3 = u             3 x 2 d x = d u

Isso nos dá

= 1 3 1 b 3 d u u + 1 =

= ln u + 1 3 1 b 3 = ln ( b 3 + 1 ) - ln 2 3

Passo 4

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

1 x 2 x 3 + 1 d x = lim b 1 b x 2 x 3 + 1 d x = lim b ln ( b 3 + 1 ) - ln 2 3 =

= lim b ln ( b 3 + 1 ) 3 - ln 2 3 =

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série do problema diverge.

Resposta

A série diverge.

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