Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 1

Considere as seguintes séries:

A ∑ n = 1 ∞ - 1 n   n + 3 n + 2 n 2

B   ∑ n = 1 ∞ - 1 n   2 n   n ! n n

Podemos afirmar que:

a) Ambas as séries (A) e (B) são divergentes.

b) A série (A) é absolutamente convergente e a série (B) é divergente.

c) A série (A) é divergente e a série (B) é absolutamente convergente.

d) A série (A) é divergente e a série (B) é condicionalmente convergente.

e) Ambas as séries (A) e (B) são absolutamente convergentes.

Passo 1

Fala pessoal, vamos resolver mais uma questão de cálculo 4 da POLI? Partiu!!!

Essa é uma questão sobre convergência de séries alternadas. O enunciado forneceu duas séries:

A ∑ n = 1 ∞ - 1 n   n + 3 n + 2 n 2

B   ∑ n = 1 ∞ - 1 n   2 n   n ! n n

Temos que verificar se elas convergem ou não e dizer qual é o tipo de convergência. Antes disso, lembre-se que toda série alternada pode ser escrita na forma

∑ n = 0 ∞ - 1 n   b n

No caso da série (A), temos que

b n =   n + 3 n + 2 n 2

Vamos ver o que acontece com b n quando n → ∞ . Para isso, temos que escrever

n + 3 n + 2 = n + 2 + 1 n + 2 = 1 + 1 n + 2

Assim,

b n = 1 + 1 n + 2 n 2 = 1 + 1 n + 2 n ⋅ n = 1 + 1 n + 2 n n

Fazendo n → ∞ , sabemos que

1 + 1 n + 2 n → e

Esse é o limite fundamental que você nunca deve esquecer! Na verdade, o limite que você deve conhecer é

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Mas note que se fizermos m = n + 2 ⇒ n = m - 2 :

1 + 1 n + 2 n = 1 + 1 m m - 2 = 1 + 1 m m ⋅ 1 + 1 m - 2

Quando n → ∞ , m → ∞ . Assim, o primeiro termo tende a e e o segundo tende a 1 . Logo,

1 + 1 n + 2 n → e ⋅ 1 = e

Mas note que b n é esse termo elevado a n . Assim, quando n tende ao infinito, b n tende a e elevado a n (que está indo para o infinito). Esse limite explode! Assim,

lim n → ∞ ⁡ b n = ∞

Assim, o limite do termo geral da sequência fica oscilando entre ± ∞ :

lim n → ∞ ⁡ - 1 n   b n = ± ∞

Esse limite não existe! Mais que isso, esse limite não é zero! Sabemos que se o limite do termo geral da série não for para zero, a série é divergente! Com isso, já conseguimos afirmar que a série (A) é divergente!

Esse tipo de teste é muito útil para você provar que uma série é divergente, mas lembre-se: caso o limite fosse zero você nada poderia afirmar sobre a série...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos olhar para a série (B):

B   ∑ n = 1 ∞ - 1 n   2 n   n ! n n

Vamos tentar aplicar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Nesse caso:

a n = 2 n n ! n n

a n + 1 = 2 n + 1 n + 1 ! n + 1 n + 1

Assim,

a n + 1 a n = 2 n + 1 n + 1 ! n + 1 n + 1 ⋅ n n 2 n n ! = 2 n ⋅ 2 ⋅ n + 1 ⋅ n ! ⋅ n n n + 1 ⋅ n + 1 n ⋅ 2 n ⋅ n !

Simplificando o que der para simplificar:

a n + 1 a n = 2   n n n + 1 n = 2   n n + 1 n = 2   n + 1 n - n = 2   1 + 1 n n - 1

Sabemos que quando n → ∞ :

1 + 1 n n → e

Assim,

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 2 e - 1 = 2 e < 1

Como L < 1 , pelo teste da razão, a série (B) é absolutamente convergente!

Passo 3

Com isso, somos levados à alternativa C: a série (A) é divergente, mas a série (B) é absolutamente convergente! 😊

Resposta

Alternativa C.

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