Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2

Questão 3:

Decida se as seguintes séries divergem ou convergem:

i .       ∑ n = 1 ∞ 2 n ! n ! 2 ;

Passo 1

Podemos usar aqui o teste da razão, já que temos fatorial na fração! O teste da razão consiste em aplicar o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

E verificar se ele é maior, menor ou igual a 1 (menor que 1 série converge, maior diverge e igual é inconclusivo). Vamos lá?

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Passo 2

No nosso caso...

a n = 2 n ! n ! 2

E

a n + 1 = 2 n + 1 ! n + 1 ! 2

Podemos simplificar esse último já que nos relembrando de propriedades de produto fatorial:

2 n + 1 ! = 2 n + 1 ⋅ 2 n !

Ou ainda...

n + 1 ! = n + 1 ⋅ n !

Então...

a n + 1 = 2 n + 1 2 n ! n + 1 n ! 2   →

a n + 1 = 2 n + 1 2 n ! n + 1 2 n ! 2  

Então, pelo teste da razão...

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n ! n + 1 2 n ! 2 2 n ! n ! 2 =

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 2

Como n é positivo...

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 2

Veja que está indo para o infinito em cima e em baixo, logo podemos aplicar L’Hopital...

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 2 = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 ' n + 1 2 ' =

lim n → ∞ ⁡ 2 2 n + 1

Como n vai para o infinito, esse limite vai a 0 . Como 0 é menor que 1 , a série converge.

Resposta

Convergente

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