Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 9

Seja f uma função tal que f 0 = 0 e f ' x = x 2 1 + x 2 ,     x I R , mostre que 0 < f x < x x > 0 .

Passo 1

Enunciar o teorema do valor médio

Provar inequações as vezes pode dar uma dorinha de cabeça e uma enrolada na mente, eu sei, mas com calma a gente chega lá. Vamos lembrar do teorema do valor médio e ver se conseguimos algo dele. Seja f x contínua entre a , b , tal que f ( a ) f b , então existirá um número c tal que c a , b que satisfaz:

f ' c = f b - f a b - a

Mas pera, nosso enunciado já nos diz que f 0 = 0 . Show de bola, vamos então definir:

a , b = 0 , x

E ficar com:

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x x

f x = x f ' c

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achar uma expressão para f ' c e coloca-la na inequação

Pra isso, vamos ter que dar uma boa olhada no nosso enunciado. Se:

0 < f x < x

E nós temos do passo anterior que:

f x = x f ' c

Unindo os resultados, vamos ficar com:

0 < x f ' c < x

E dividindo os dois lados por x , temos:

0 < f ' c < 1

Show de bola, o enunciado também nos da a expressão de f ' x . Quando x = c , vamos ter:

f ' c = c 2 1 + c 2

E logo:

0 < c 2 1 + c 2 < 1

0 < c 2 < c 2 + 1

E lembrando que c   0 , x , qualquer que seja o valor de c a inequação anterior está provada. Fim de papo, agora é partir pro abraço!

Resposta

0 < f x < x x > 0 é provado como verdadeiro.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas