Exercícios Resolvidos de Torque

Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação

Uma haste de massa M e comprimento L , pode girar em torno de um eixo que passa por uma de suas extremidades. Na outra extremidade está presa uma massa pontual de valor 2 M 3 .

Inicialmente, haste e massa giram em um plano horizontal ( z x ) com velocidade angular ω 0 no sentido horário. No instante t = 0 são exercidas duas forças como ilustradas abaixo. A força de módulo F está aplicada no centro de massa da haste e tem direção perpendicular a ela. A força de módulo   3 F está aplicada na extremidade da haste e faz um ângulo de 30 ° com ela. Despreze todos os atritos.

a ) Calcule o vetor torque resultante no sistema em relação ao eixo.

b ) Calcule o módulo da aceleração angular do sistema.

c )   Calcule o trabalho realizado pelas forças até que o sistema pare de girar momentaneamente.

d ) Suponha agora que ω 0 seja zero e que a força de módulo F não se altere. Calcule o

novo ângulo entre a haste e a outra força de módulo 3 F para que o sistema fique em

equilíbrio estático.

Passo 1

a )  

Para calcular o torque resultante, vamos relembrar a sua definição τ → = r → × F → . Para o sistema dado, temos:

  τ → = L 2 i ^ × F k ^ + L i ^ × 3 . F . s e n ⁡ ( 30 ° ) ( - k ^ )

A outra componente da força de módulo 3 F não realiza torque, pois atua na direção do vetor posição.

τ → = L . F ( j ^ )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para achar o módulo da aceleração angular, devemos lembrar da segunda Lei de Newton para rotações:

τ → = I . α

Para isso, vamos achar o momento de inércia! Usaremos o teorema dos eixos paralelos, lembre-se dele!

I = I h a s t e + I m a s s a

I = M . L 2 12 + M . L 2 2 + 2 . M . L 2 3

I = M . L 2

Passo 3

Agora que temos o momento de inércia, podemos achar a aceleração, pois já calculamos o torque no item a !

τ → = I . α

L . F = M . L 2 . α

α = F M . L

Passo 4

c )

Para determinar o trabalho realizado até o sistema parar , devemos usar o teorema do Trabalho e Energia Cinética.

W = Δ E c

Ou seja:

W = 0 - M . L 2 2 . ω 0 2

W = - M . L 2 2 . ω 0 2

Passo 5

d )

Para que o sistema fique em equilíbrio, devemos ter torque resultante igual a zero! Então, vamos lá!

τ → = 0

0 = L 2 i ^ × F k ^ + L i ^ × 3 . F . sen ⁡ θ ( - k ^ )

L . 3 . F . sen ⁡ θ j ^ = - L 2 . F - j ^

Isolando θ , temos:

sen ⁡ θ = 1 6

θ = 9,6 °

Resposta

a )   τ → = L . F ( j ^ )

b )   α = F M . L

c )   W = - M . L 2 2 . ω 0 2

d )   θ = 9,6 °

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