Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

UFPE, Cálculo 4, 1º EE - 2017.1 (2), Questão 4

Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas x = k y ² , onde k é uma constante arbitrária. Faça uma figura ilustrando as famílias.

Passo 1

Lembra lá o que são trajetórias ortogonais: são nada mais que uma família de curvas que corta outra família de curvas de maneira ortogonal, ou seja, fazendo 90 ° .

A primeira coisa a ser feita é determinar a EDO da própria família, isto é, determinar seus coeficientes angulares. Fazemos isso derivando com respeito a x a equação que define a família. Ficando com:

1 = k . 2 y y '

y ' = 1 2 k y

Como k = x y 2

y ' = y 2 x

Segue o bonde!

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Passo 2

Agora precisamos encontrar a família que tenha um coeficiente angular (vou denotar por y ' de novo) que respeite a seguinte relação, já que precisamos que sejam ortogonais:

y ' = - 2 x y

Resolvendo a EDO

y d y = - 2 x d x

y 2 2 = - x 2 + C     y 2 2 + x 2 = C

OPAAA! Essa família é de elipses!

Passo 3

Desenhando as famílias:

Resposta

y 2 2 + x 2 = C

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