Exercícios Resolvidos de Trajetórias Ortogonais

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 26

Encontre a trajetória ortogonal da família de curvas

y = c 1 e - x

Passo 1

Beleza, então queremos a família de curvas ortogonais. Para isso, precisamos da função no seguinte formato:

y ' = f x , y

Aí, a EDO que soluciona o problema vai ser da forma: y 2 ' = - 1 f x , y 2

Em que y 2 é a família de curvas ortogonais a y . Beleza, vamos então derivar a expressão dada para encontrar f x , y .

y ' = - c 1 e - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achamos a derivada, mas precisamos reescrever c 1 em função de x e y . Lá do enunciado novamente

y = c 1 e - x c 1 = y e x

Assim vamos ter:

y ' = - c 1 e - x

y ' = - y e x e - x =

y ' = - y

Passo 3

Agora, comparando y ' = f x , y com y ' = - y , temos que

f x , y = - y .

Passo 4

Encontrada a expressão para a função f x , y , substituindo na fórmula geral

y 2 ' = - 1 f x , y 2

y 2 ' = 1 y 2 .

Essa vai ser a EDO associada ao problema.

Passo 5

Para resolver essa EDO, usamos a notação equivalente:

d y 2 d x = 1 y 2

Separamos tudo que é x de um lado e tudo que é y 2 do outro: y 2 d y 2 = d x

Agora é integrar dos dois lados: y 2 d y 2 = d x

y 2 2 = 2 x + C

Essa vai ser a forma da família de curvas ortogonais a y = c 1 e - x . Temos uma família de curvas porque, para qualquer valor de C , a curva é ortogonal, ou seja, temos infinitas possibilidades de escolha. Além disso, usamos a notação y 2 e não simplesmente y para deixar claro que são curvas distintas. 😊

Resposta

y 2 2 = 2 x + C

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