Exercícios Resolvidos de Tranformação de V.A. Contínuas

PUCRIO-P1-2014.1-3

Seja “ X ” uma variável contínua, onde:

f x = - k x 3 + 2 x       ,     o n d e   0 x 2

  1. O valor de “ k ” para que a função da variável “ X ” seja uma densidade – “ f ( x ) ”.
  2. A função de distribuição da variável “ X ” – “ F ( X ) ”.
  3. Média da variável “ X ” – “ E X .
  4. Variância da variável “ X ” – “ V a r ( X ) ”.

Passo 1

(a)

Aqui, nada surreal, pra uma função ser de densidade a integral dela no intervalo que derem tem que dar 1. Vamos conferir isso então:

- f x = 0 2 - k . x 3 2 + 2 . x   d x

= 0 2 - k . x 3 2   d x + 0 2 2 . x   d x

= - 2 k 5 . x 5 2 0 2 + 2 2 . x 2 0 2

= - 2 k 5 . 2 5 2 + 2 2

= - 2 k 5 . 32 + 4

Isso tem que ser igual a 1.

- 2 k 5 . 32 + 4 = 1

- 2 k 5 . 32 = - 3

k = 15 2 32

k 1,33

Com isso:

f x = - 1,33 x 3 + 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Temos que calcular a função acumulada. Pra isso a gente tem que integrar f ( x ) de - até + .

Como o x só está definido entre 0 e 2. A integral - o f ( x ) será 0.

Vamos integrar de 0 até x .

0 x f x   d x = 0 x - 1,33 . x 3 2 + 2 . x   d x

= - 2.1,33 5 . x 5 2 0 x + 2 2 . x 2 0 x

= - 0,532 . x 5 2 + x 2

sabendo disso, nossa FDA fica:

F X = 0   ,     s e   x < 0 - 0,532 . x 5 2 + x 2   ,     s e   0 x 2                                         1   ,     s e   x > 2

Passo 3

(c)

A média, ou esperança é calculada pela integral:

E X = - + x . f x   d x = 0 2 x . ( - 1,33 . x 3 2 + 2 . x )   d x

= 0 2 - 1,33 . x 5 2 + 2 . x 2   d x

= - 2.1,33 7 . x 7 2 0 2 + 2 3 . x 3 0 2

= - 0,38 . 2 7 2 + 2 3 . 2 3

= - 0,38 . 128 + 16 3

E X 1,03

Passo 4

(d)

Calcular a variância, tá acabando, desconcentra não!

V a r X = E X 2 - E X 2

Sendo que:

E X 2 = 0 2 x ² . ( - 1,33 . x 3 2 + 2 . x )   d x

= 0 2 - 1,33 . x 7 2 + 2 . x 3   d x

= - 2.1,33 9 . x 9 2 0 2 + 2 4 . x 4 0 2

= - 0,296 × 2 9 2 + 0,5 × 2 4

= - 0,296 × 512 + 16 2

E X 2 1,30

Com isso:

V a r X 1,30 - 1,03 2 0,24

Resposta

a   k 1,33

b   F X = 0   ,     s e   x < 0 - 0,532 . x 5 2 + x 2   ,     s e   0 x 2                                         1   ,     s e   x > 2

c   E X 1,03

d   V a r X 0,24

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