Exercícios Resolvidos de Transformações de Tensões

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 333-9.10.

Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30 ° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.

Passo 1

O que está acontecendo?

A imagem apresenta um estado plano de tensões em que:

  • σ x = 0 , uma vez que não há nenhuma tensão normal na horizontal;
  • σ y = - 300   k P a , com valor negativo uma vez que a tensão normal na vertical é de compressão;
  • τ x y = 950   k P a , com valor positivo uma vez que as setas da tensão cisalhantes está apontando para o 1° e 3° quadrante:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o estado de tensão σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' nesse elemento caso os seus eixos sejam rotacionados por um ângulo θ = 30 ° em sentido anti-horário ( + ):

Para tanto, ele quer que a gente use as equações de transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos 2 θ + τ x y sen 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos 2 θ - τ x y sen 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen 2 θ + τ x y cos 2 θ

Então, para resolver esse exercício...

O primeiro passo é fazer o desenho que acabamos de fazer do elemento rotacionado.

O segundo é aplicar as equações de transformação de tensões.

E o terceiro é colocar os resultados encontrados no desenho do elemento rotacionado.

Com uma observação:

Caso o exercício pedisse somente as tensões σ x ' , σ y ' e τ x ' y ' , esse terceiro passo poderia ser pulado.

Mas como ele pediu que a gente determine o “estado de tensões equivalente”, imagina-se que ele quer que a gente faça um desenho desse estado de tensões.

Sendo que no geral, é sempre bom fazer esse desenho final mesmo. 😉

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos lá!

Já fizemos no passo anterior um desenho do nosso elemento rotacionado, o que nos ajudou a identificar corretamente o ângulo θ = + 30 ° .

Agora, é só uma questão de aplicar as fórmulas da transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos 2 θ + τ x y sen 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos 2 θ - τ x y sen 2 θ

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen 2 θ + τ x y cos 2 θ

Substituindo nessas equações os valores:

  • σ x = 0 ;
  • σ y = - 300   k P a ;
  • τ x y = 950   k P a ;
  • & θ = + 30 ° ,

Elas vão ficar assim:

σ x ' = - 300 2 + 300 2 cos 60 ° + 950 sen 60 °

σ y ' = - 300 2 - 300 2 cos 60 ° - 950 sen 60 °

τ x ' y ' = - 300 2 sen 60 ° + τ x y cos 60 °

Aí, calculando essas expressões, vamos encontrar que:

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

&

τ x ' y ' = 345   k P a

Passo 3

No passo anterior, já encontramos as respostas do nosso exercício, mas para complementar a nossa solução, podemos desenhar essas tensões no nosso elemento rotacionado.

Para tanto, podemos perceber que:

  • As tensões σ x ' = 748   k P a e τ x ' y ' = 345   k P a , por serem positivas, vão ter seus sentidos convencionais no desenho.
  • Já a tensão σ y ' = - 1048   k P a , negativa, vai ser representada no desenho somente com sua intensidade de 1048   k P a , mas com um sentido oposto do convencional, ou seja, com o sentido de compressão.

Dessa forma, o estado plano de tensões para o nosso elemento rotacionado fica assim:

E pronto!

Está resolvido o exercício.

Resposta

σ x ' = 748   k P a

σ y ' = - 1048   k P a

&

τ x ' y ' = 345   k P a

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