Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

Livro Sadiku, p.324, Problema 8.50

Para o circuito abaixo, determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar nossas condições iniciais.

Em t = 0 - , o circuito já atingiu o regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito e o capacitor um circuito aberto.

Além disso, a fonte de corrente vale zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerá-la desligada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, para t = 0 - , analisamos o circuito abaixo.

A corrente fornecida pela fonte passará toda pelo curto circuito. Logo, não passará corrente pelo resistor de 40   . Logo, pela lei de Ohm,

i 0 - = 30 10 = 3   A

v 0 - = 0

Passo 3

Precisamos encontrar a condição inicial para a derivada da corrente. Em t = 0 + , a fonte de corrente passa a funcionar e vale 6   A . Então, a gente tem esse circuito aí.

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 0   V

i 0 + = i 0 - = 3   A

Como o circuito é paralelo, a tensão é a mesma para todos os elementos. Logo, no indutor

v = L d i d t

Em t = 0 + , como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente,

v 0 + = v 0 - = 0

Portanto,

v 0 + = 4 d i ( 0 + ) d t = 0

d i 0 + d t = 0

Passo 4

Agora, nós vamos fazer uma coisa que vai nos facilitar muito. Vamos usar transformação de fontes. A fonte de tensão que está em série com o resistor vai se transformar numa fonte de corrente em paralelo com o resistor. Lembra disso?

Quando realizamos a transformação de fontes temos que respeitar a lei de Ohm. Logo o valor da fonte de corrente será

I = V R = 30 10 = 3   A

Logo, nosso circuito ficará assim,

Ainda podemos reduzir mais o circuito, já que temos dois resistores em paralelo e duas fontes de corrente também em paralelo.

Então, somando o valor das fontes e calculando a resistência equivalente

R e q = 10 × 40 10 + 40 = 8  

Chegamos ao circuito abaixo.

Passo 5

Aplicando a LCK no circuito,

0,01 d v d t + v 8 + i = 9

Como, no indutor

v = 4 d i d t

Substituindo v , temos

0,04 d 2 i d t 2 + 1 2 d i d t + i = 9

Arrumando os termos,

d 2 i d t 2 + 25 2 d i d t + 25 i = 225  

Passo 6

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

s 2 I s - s i 0 + - i ' 0 + + 25 2 s I s - i 0 + + 25 I s = 225 1 s

Substituindo nossas condições iniciais.

i 0 + = 3   A                 e                 i ' ( 0 + ) = 0

Temos,

s 2 I s - 3 s + 25 2 s I s - 3 + 25 I s = 225 1 s

s 2 I s + 25 2 s I s + 25 I s = 225 s + 3 s + 75 2

Isolando a transformada da corrente,

I s s 2 + 25 2 s + 25 = 3 s 2 + 37,5 s + 225

I s = 3 s 2 + 37,5 s + 225 s s 2 + 25 2 s + 25

Passo 7

Agora que encontramos a expressão para I ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Fatorando o polinômio do denominador, temos

I s = 3 s 2 + 37,5 s + 225 s ( s + 2,5 ) ( s + 10 )

Expandindo em frações parciais,

I s = A s + B s + 2,5 + C s + 10

Agora, precisamos determinar as constantes A ,   B e C .

Como a raiz de s é zero, para A , temos

A = lim s 0 ( s - 0 ) I s

A = lim s 0 s 3 s 2 + 37,5 s + 225 s ( s + 2,5 ) ( s + 10 )

Simplificando,

A = lim s 0 3 s 2 + 37,5 s + 225 ( s + 2,5 ) ( s + 10 ) = 225 25 = 9

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

Como a raiz de ( s + 2,5 ) é - 2,5 , temos:

B = lim s - 2,5   ( s + 2,5 ) I s

B = lim s - 2,5   ( s + 2,5 ) 3 s 2 + 37,5 s + 225 s ( s + 2,5 ) ( s + 10 )

Simplificando,

B = lim s - 2,5 3 s 2 + 37,5 s + 225 s ( s + 10 )

B = - 8

E para C

C = lim s - 3   ( s + 10 ) I s

C = lim s - 10   ( s + 10 ) 3 s 2 + 37,5 s + 225 s ( s + 2,5 ) ( s + 10 )

Simplificando,

C = lim s - 10 3 s 2 + 37,5 s + 225 s ( s + 2,5 )

C = 2

Substituindo o valor de cada constante, temos que

I s = 9 1 s + - 8 1 s + 2,5 + 2 1 s + 10

Passo 8

Agora que encontramos a expressão para I ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 I s = i ( t )

L - 1 I s = 9 L - 1 1 s - 8 L - 1 1 s + 2,5 + 2 L - 1 1 s + 10

Portanto,

i t = 9   u t - 8 e - 2,5 t u t + 2 e - 10 t u ( t )

A gente sempre multiplica cada termo da equação pelo degrau unitário u ( t ) , para deixar claro que a expressão é válida apenas para t > 0 .

i t = 9 - 8 e - 2,5 t + 2 e - 10 t     u ( t )

Resposta

i t = 9 - 8 e - 2,5 t + 2 e - 10 t     u ( t )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas