Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

Livro Close, p.536, Problema 10.17-b

O circuito abaixo está operando no estado permanente para t < 0 , com a chave aberta. Se a chave se fecha em t = 0 , determine v 0 ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar as condições iniciais.

Em t = 0 - , o enunciado disse que o circuito estava em seu regime permanente. Então, podemos considerar o indutor um curto-circuito, o capacitor um circuito aberto e temos o circuito abaixo:

Aplicando divisor de tensão, temos que a tensão no capacitor é

v c 0 - = 2 2 + 2 12 = 6   V

Além disso, como a chave está aberta, não há circulação de corrente pelo indutor.

i L 0 - = 0

Em t = 0 + a chave é fechada e temos o seguinte circuito:

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v c 0 + = v c 0 - = 6   V

Logo,

v 0 0 + = v c 0 + = 6   V

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Passo 2

Agora, vamos encontrar a EDO que descreve v 0 ( t ) no circuito para t > 0 . Então, após o fechamento da chave, a gente tem o circuito abaixo:

Aplicando LCK ao nó do circuito acima,

12 - v 0 2 = v 0 2 + 2 d v 0 d t + 5 2 v 0   d t + v 0 1  

Dando aquela simplificada,

d v 0 d t + v 0 + 5 4 v 0   d t = 3

Passo 3

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

s V 0 s - v 0 + + V 0 s + 5 4 V 0 s s = 3 s  

Substituindo a condição inicial que encontramos:

v 0 0 + = 6   V

Temos,

s V 0 s - 6 + V 0 s + 5 4 V 0 s s = 3 s

Simplificando,

s 2 V s - 6 s + s V s + 5 4 V s = 3

Isolando a transformada da tensão,

V 0 s   s 2 + s + 5 4 = 6 s + 3

V 0 s = 6 s + 3 s 2 + s + 5 4

Passo 4

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Fatorando o polinômio do denominador, temos

V 0 s = 6 s + 3 s + 1 2 - j s + 1 2 + j

Expandindo em frações parciais,

V 0 s = A s + 1 2 - j + B s + 1 2 + j

Agora, precisamos determinar as constantes A e B .

Para A , temos

A = lim s - 1 2 + j s + 1 2 - j   V s

A = lim s - 1 2 + j s + 1 2 - j   6 s + 3 s + 1 2 - j s + 1 2 + j

Simplificando,

A = lim s - 1 2 + j 6 s + 3 s + 1 2 + j

A = 6 - 1 2 + j + 3 - 1 2 + j + 1 2 + j

A = 6 j 2 j = 3

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

B = lim s - 1 2 - j s + 1 2 + j   V s

B = lim s - 1 2 - j s + 1 2 + j 6 s + 3 s + 1 2 - j s + 1 2 + j

Simplificando,

B = lim s - 1 2 - j 6 s + 3 s + 1 2 - j

B = 6 - 1 2 - j + 3 - 1 2 - j + 1 2 - j

B = - 6 j - 2 j = 3

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V 0 s = ( 3 ) 1 s + 1 2 - j + ( 3 ) 1 s + 1 2 + j

Passo 5

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V 0 s = 3 e - 1 2 - j t   u t +   3 e - 1 2 + j t   u ( t )

Poderíamos deixar v ( t ) com essa expressão, mas a gente sempre evita grandezas complexas na resposta final. Então, vamos simplificá-la bastante e deixá-la mais bonita.

v 0 t = 3 e - 1 2 - j t + e - 1 2 + j t   u ( t )

v t = 3 e - 1 2 t e j t + e - 1 2 t e - j t   u t

v t = 3 e - t 2 e j t + e - j t   u t

Lembrando da identidade

2 cos θ = ( e j θ + e - j θ )

Temos,

v t = 3 e - t 2   ( 2 cos t ) u t

Portanto,

v t = 6 e - t 2 cos t   u t

Resposta

v t = 6 e - t 2 cos t   u t

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