Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

Livro Close, p.160, Problema 3.16

Determine a resposta ao degrau unitário e a resposta à rampa unitária do circuito abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar a tensão no capacitor para quando a fonte de corrente for um degrau unitário u ( t ) e para a rampa unitária r ( t ) . Para encontrarmos uma relação entre i ( t ) e v 0 t , vamos fazer uma análise nodal no circuito.

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Passo 2

Então, vamos fazer a análise nodal do circuito abaixo:

Aplicando LCK nos nós:

i 1 = i b + i 2

e

i 2 = 4 i b + i c

Escrevendo essas correntes em função das nossas tensões nodais, temos:

i b = 2 v 1

i 2 = v 1 - v 0

i c = 1 d v 0 d t

Substituindo esses valores nas equações nodais:

i 1 = 2 v 1 + v 1 - v 0           v 1 - v 0 = 4 2 v 1 + d v 0 d t

Simplificando:

i 1 = 3 v 1 - v 0             d v 0 d t + v 0 = - 7 v 1

Isolando v 1 na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos:

d v 0 d t + v 0 = - 7 i 1 + v 0 3  

Dando aquela ajeitada:

d v 0 d t + v 0 + 7 3 v 0 = - 7 3 i 1

d v 0 d t + 10 3 v 0 = - 7 3 i 1

Passo 3

Encontramos uma EDO não homogênea. Primeiro vamos resolver para quando i 1 t = u ( t ) .

d v 0 d t + 10 3 v 0 = - 7 3 u ( t )

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

s V 0 s - v 0 0 + + 10 3 V s = - 7 3 1 s  

Como o capacitor está inicialmente descarregado, v 0 0 = 0 . Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:

v 0 0 - = v 0 0 = v 0 0 + = 0

Portanto, substituindo a nossa condição inicial, temos:

s V 0 s - ( 0 ) + 10 3 V s = - 7 3 1 s  

Isolando a transformada da tensão,

V 0 s s + 10 3 = - 7 3 1 s  

V 0 s = - 7 3 s s + 10 3

Passo 4

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

V 0 s = A s + B s + 10 3

Agora, precisamos determinar as constantes A e B .

Para A , temos

A = lim s 0 s - 0 V 0 s

A = lim s 0 s - 7 3 s s + 10 3

Simplificando,

A = lim s 0 - 7 3 s + 10 3

A = - 7 3 × 3 10 = - 7 10

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

B = lim s - 10 3 s + 10 3 V 0 s

B = lim s - 10 3 s + 10 3 - 7 3 s s + 10 3

B = - 7 3 × - 3 10 = 7 10

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V 0 s = - 7 10 1 s + 7 10 1 s + 10 3

Passo 5

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V 0 s = - 7 10   u t + 7 10 e - 10 3 t   u ( t )

Portanto,

v 0 t = 7 10 e - 10 3 t - 1   u ( t )

Passo 6

Pronto, encontramos a resposta ao degrau unitário. Agora precisamos encontrar a resposta à rampa unitária. Para isso, vamos resolver a EDO para quando i 1 t = t .

d v 0 d t + 10 3 v 0 = - 7 3 t

Lembrando que

L t = 1 s 2   ,

Aplicando Transformada de Laplace na expressão acima, temos

s V 0 s - v 0 0 + + 10 3 V s = - 7 3 1 s 2  

Portanto, substituindo a nossa condição inicial, temos:

s V 0 s - ( 0 ) + 10 3 V s = - 7 3 1 s 2  

Isolando a transformada da tensão,

V 0 s s + 10 3 = - 7 3 1 s 2  

V 0 s = - 7 3 s 2 s + 10 3

Passo 7

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

V 0 s = A s + B s 2 + C s + 10 3

Agora, precisamos determinar as constantes A , B e C .

Como temos raízes múltiplas no polinômio do denominador, calcularemos primeiro B .

B = lim s 0 s 2 - 0 V s

B = lim s 0 s 2 - 7 3 s 2 s + 10 3

Simplificando,

B = lim s 0 - 7 3 s + 10 3

B = - 7 3 × 3 10 = - 7 10

Para encontrarmos A , faremos assim:

A = lim s 0 d d s s 2 - 0 V s

A = lim s 0   d d s - 7 3 s + 10 3

A = l i m s 0   7 3 s + 10 3 2

A = 7 3 × 9 100 = 21 100

Agora, vamos calcular C .

C = lim s - 10 3 s + 10 3 V s

C = lim s - 10 3 s + 10 3 - 7 3 s 2 s + 10 3

Simplificando,

C = l i m s - 10 3 - 7 3 s 2

C = - 7 3 × 9 100 = - 21 100

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V 0 s = 21 100 1 s - 7 10 1 s 2 - 21 100 1 s + 10 3

Passo 8

Agora que encontramos a expressão para V ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V 0 s = 21 100   u t - 7 10 t   u ( t ) - 21 100 e - 10 3 t   u ( t )

Portanto,

v 0 t = - 7 10 t + 21 100 1 - e - 10 3 t   u ( t )

Resposta

Quando i 1 t = u t ,

v 0 t = 7 10 e - 10 3 t - 1   u ( t )

Quando i 1 t = r t ,

v 0 t = - 7 10 t + 21 100 1 - e - 10 3 t   u ( t )

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