Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace em circuitos

Livro Close, p.532, Problema 10.8

Escreva uma equação nodal descrevendo o circuito abaixo para t > 0 . Se a capacitância estava descarregada para t < 0 , determine V 0 s = L e 0 t . Determine a transformada inversa de pelo método das frações parciais.

Passo 1

Antes de mais nada, vamos determinar a condição inicial de v 0 .

Em t = 0 - , a fonte de tensão vale zero, já que para t < 0 ,   u t = 0 . Ou seja, podemos considerá-la desligada. Além disso, o enunciado disse que o capacitor estava descarregado. Logo, não há circulação de corrente no circuito e

v 0 0 - = 0

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, assim como a corrente no indutor, temos que

v 0 + = v 0 - = 0   V

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Passo 2

Agora, vamos encontrar a EDO que descreve v ( t ) no circuito para t > 0 . Para t > 0 , a fonte de tensão passa a funcionar e vale 1   V , já que para t > 0 o degrau unitário vale um, u t = 1 . Então, a gente tem esse circuito aí.

Aplicando LCK ao nó do circuito,

i 1 = i 2 + i 0

Logo,

1 - v 0 3 = v 0 6 + 2 d v 0 d t

Arrumando os termos,

2 d v 0 d t + v 0 6 + v 0 3 = - 1 3

Simplificando,

2 d v 0 d t + 1 2 v 0 = - 1 3

d v 0 d t + 1 4 v 0 = - 1 6

Que podemos escrever também desta maneira:

v 0 ' t + 1 4 v 0 t = - 1 6

Passo 3

Agora que encontramos a EDO não homogênea, precisamos resolvê-la utilizando Transformada de Laplace. Para isso, primeiro precisamos encontrar uma expressão para V 0 ( s ) .

Para relembrar como funciona, vamos aplicar transformada de Laplace em cada termo da EDO:

L v 0 ' t s = s V s - v 0 0 +

L v 0 t s = V s

Quando temos uma constante sempre consideramos ela multiplicada pelo degrau unitário, porque para t > 0 ,   u t = 1 .

Logo,

L - 1 6 s = L 1 6 u t s = 1 6 L u ( t ) s

Como,

L u ( t ) s = 1 s

L 1 6 s = 1 6 × 1 s

Portanto, a nossa equação transformada é

s V s - v 0 ( 0 + ) + 1 4 V s = 1 6 × 1 s

Substituindo a condição inicial que encontramos

v 0 0 + = 0

Temos,

s V 0 s - ( 0 ) + 1 4 V 0 s = 1 6 × 1 s

Simplificando,

s V 0 s + 1 4 V 0 s = 1 6 × 1 s

Isolando a transformada da tensão,

V 0 s   s + 1 4 = 1 / 6 s

V 0 s = 1 / 6 s s + 1 4

Passo 4

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) , vamos utilizar o método de expansão em frações parciais.

Expandindo em frações parciais,

V 0 s = A s + B s + 1 4

Agora, precisamos determinar as constantes A e B .

Como a raiz de s é zero, para A , temos

A = lim s 0 ( s - 0 ) V 0 s

A = lim s 0 s 1 / 6 s s + 1 4

Simplificando,

A = lim s 0 1 / 6 s + 1 4 = 4 6 = 2 3

Vamos seguir o mesmo processo para encontrarmos B .

Como a raiz de ( s + 1 / 4 ) é - 1 / 4 , temos:

B = lim s - 1 / 4   s + 1 4 V 0 s

B = lim s - 1 / 4   s + 1 4 1 / 6 s s + 1 4

Simplificando,

B = lim s - 1 / 4 1 / 6 s

B = - 4 6 = - 2 3

Substituindo o valor de cada constante, temos que

V 0 s = 2 3 1 s + - 2 3 1 s + 1 4

Passo 5

Agora que encontramos a expressão para V 0 ( s ) em frações parciais, vamos aplicar a Transformada inversa de Laplace:

L - 1 V 0 s = v 0 ( t )

L - 1 V 0 s = 2 3 L - 1 1 s - 2 3 L - 1 1 s + 1 4

Como,

L - 1 1 s = u t

L - 1 1 s + 1 4 = e - 1 4 t

Portanto,

v 0 t = 2 3 u t - 2 3 e - t 4  

v 0 t = 2 3 1 - e - t 4       p a r a   t > 0

A gente também pode escrever a resposta acima da seguinte maneira:

v 0 t = 2 3 ( 1 - e - t 4 )   u ( t )

Resposta

v 0 t = 2 3 ( 1 - e - t 4 )   u ( t )

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