Exercícios Resolvidos de Vetor Binormal

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp, 270 – 15, 16

Encontre o valor do vetor binormal no valor dado de t

  1. r t = cos ⁡ t i ^ + sen ⁡ t j ^ - k ^ ,     t = π 4
  2. r t = cos ⁡ t i ^ + sen ⁡ t j ^ + t k ^ ,     t = 0

Passo 1

  1. Encontrar o vetor tangente unitário:
  2. v t → = r ' t = - s e n   t , cos ⁡ t , 0

    v t → = - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 0 2 = 1

    T → ( t ) = v t → v t → = - s e n   t , cos ⁡ t , 0 1 = - s e n   t , cos ⁡ t , 0

    Passo 2

    Encontrar o vetor normal principal unitário

    Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

    T → ' t = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0

    T → ' t = - cos ⁡ t 2 + - s e n   t 2 + 0 2 = 1

    Agora temos:

    N → = T → ' t T → ' t

    N → = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0 1 = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0

    Passo 3

    Encontrar o vetor binormal

    Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

    B → = T → × N →

    Vamos ter

    B → = i ^ j ^ k ^ - s e n   t cos ⁡ t 0 - c o s   t - sen ⁡ t 0 = 0   i ^ - 0 j ^ + 1 k ^ = 0,0 , 1

    Passo 4

    Portanto, percebemos que o vetor binormal a essa curva independe do instante t .

    B → = 0,0 , 1

    Passo 5

  3. Encontrar o vetor tangente unitário:

v t → = r ' t = - s e n   t , cos ⁡ t , 1

v t → = - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 2 = 2

T → ( t ) = v t → v t → = - s e n   t , cos ⁡ t , 1 2 = - s e n   t 2 , cos ⁡ t 2 , 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar o vetor normal principal unitário

Para isso, precisamos derivar esse vetor e depois dividi-lo pelo seu módulo:

T → ' t = - c o s   t 2 , - s e n   t 2 , 0

T → ' t = - c o s   t 2 2 + - s e n   t 2 2 + 0 2 = 2 2

Agora temos:

N → = T → ' t T → ' t

N → = - c o s   t 2 , - s e n   t 2 , 0 2 2 = - cos ⁡ t ,   - s e n   t , 0

Passo 3

Encontrar o vetor binormal

Para isso, vamos fazer o produto vetorial:

B → = T → × N →

Vamos ter

B → = i ^ j ^ k ^ - s e n   t 2 cos ⁡ t 2 2 2 - c o s   t - sen ⁡ t 0 = 2 2 s e n   t i ^ - 2 2 cos ⁡ t j ^ + 2 2 k ^ =

2 2 s e n   t , - 2 2 cos ⁡ t , 2 2

Passo 4

Já sabemos que

B → = 2 2 s e n   t , - 2 2 cos ⁡ t , 2 2

Agora vamos calcular seu valor no instante t = 0 . Temos

B → = 2 2 s e n   0 , - 2 2 cos ⁡ 0 , 2 2 = 0 , - 2 2 , 2 2  

Resposta

  1. B → = 0,0 , 1
  2. B → = 0 , - 2 2 , 2 2

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