Exercícios Resolvidos de Volumes de Sólidos Infinitos

Elaboração própria

Tendo em vista a área entras as funções abaixo:

y = e - x           ;           y = 1 x           ;           x 1

Calcule o volume do sólido obtido na rotação dessa região em torno do eixo x .

Passo 1

Plotei o negócio todo, agora vamos olhar qual é a região:

Se você reparar, não existe uma área perfeitamente definida. Olha o que acontece, antes do x = 1 você tem uma região na qual os gráficos vermelho e azul vão se separando e não tem um “teto” para fechar essa área. Indo para o outro lado, os dois gráficos também não são limitados por uma parede, mas pelo menos eles estão se encostando, diminuindo a área.

O que faremos nesse caso? Vamos calcular o volume de rotação de uma área ilimitada!

Bizarro, eu sei. Não faz nenhum sentido a primeira vista, mas matematicamente é perfeitamente normal. O detalhe é que vamos cair em uma amada integral imprópria.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, se essa área roda em torno de x , podemos defini-la assim:

V = a b π f cima x 2 - π f baixo x 2 d x = π 1 1 x 2 - e - x 2 d x

Agora, é só resolver!

π 1 1 x 2 - e - x 2 d x = π 1 x - 2 - e - 2 x d x = π x - 1 - 1 - e - 2 x - 2 [ 1

Só te recordando, como a integral é imprópria, eu devo fazer um limite para o infinito de uma variável que eu colocarei no lugar do limite superior.

π - 1 x + e - 2 x 2 [ 1 = π lim a - 1 a + e - 2 a 2 - - 1 1 + e - 2 1 2

= π lim a - 1 a + e - 2 a 2 + 1 - e - 2 2

As duas funções de a ali vão ficando pequenas no infinito. Ambas tendem a 0 (basta substituir o valor para ter uma noção). Dessa forma, o resultado é aquilo que sobrou de constante:

V = π 1 - e - 2 2

Resposta

V = π 1 - e - 2 2

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