Você já deve estar familiarizado com funções e suas derivadas, certo? Mas e se em algum momento você se deparasse com uma equação do tipo
Essa equação acima envolve a função e sua derivada . Este tipo de equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária, ou EDO para os íntimos. Alguns outros exemplos de EDO’s são:
Dá pra reparar que as duas primeiras equações envolvem apenas a primeira derivada da função , enquanto a terceira envolve a segunda derivada. Por esse motivo, as duas primeiras equações são chamadas de EDO’s de primeira ordem, enquanto a terceira é uma EDO de segunda ordem.
A ordem de uma EDO é igual à ordem da maior derivada!
Podem existir equações de qualquer ordem, mas vamos estudar somente as de primeira e segunda ordens, que são as mais importantes.
É possível que além da EDO, o problema imponha alguma condição, do tipo:
Neste caso, dizemos que temos um problema de valor inicial, ou PVI para os mais chegados. O número de condições pra especificar de forma única uma solução de uma EDO é igual à sua ordem. Mas relaxa! Isso vai ficar bem claro quando a gente começar a resolver os exercícios.
Não precisa ficar assustado com a cara estranha dessas equações! Vamos aprender os métodos pra resolvê-las, e quando acabarmos você vai estar craque!
Uma EDO separável é aquela em que você consegue jogar todos os termos que tem de um lado da equação e todos os termos que tem para o outro lado. Ou seja, você separa de !
Como fazemos isso? Vamos seguir alguns passos com o seguinte exemplo:
Observação importante: sempre que você jogar alguma coisa para o denominador, tem que dizer (e ter certeza) que essa coisa é diferente de zero! (Afinal, não podemos dividir por zero).
Portanto:
Observação: como você integra os dois lados, aparecem duas constantes, certo? Mas basta colocar uma só de um lado da equação, pois sempre podemos substituir :
Você sempre pode colocar uma única constante de um lado só da equação. Pode fazer isso direto, beleza?
Então ótimo! Achou a solução geral!
Em geral, os problemas pedem a solução explícita da solução. Ou seja: pedem para isolar .
Em alguns problemas, não dá pra isolar . Nesses casos, deixe a equação da solução com implícito. Por exemplo:
Ok, voltando ao nosso exemplo, é possível isolar :
Basta aplicar a exponencial nos dois lados:
É muito comum encontrarmos problemas com logaritmo natural () desse tipo. E sempre que for necessário, esse é o procedimento para tirar o “ “da jogada!
Agora podemos tirar o módulo nos dois lados:
Observação: como o módulo de um número “transforma ele sempre em positivo”, então esse número poderia ser tanto positivo quanto negativo. Por isso, colocamos esse “mais ou menos”.
Agora é só substituir a constante e podemos voltar à notação se quisermos:
Como é sempre diferente de zero, então pode ser positivo ou negativo, mas diferente de zero.
Portanto: (Esse asterisco quer dizer que o zero não está sendo incluído)
Por exemplo:
Logo:
Caso seja possível, é bom dar uma conferida na EDO pra ver se a solução realmente satisfaz a equação!
Nesse caso:
Se substituirmos no lado esquerdo da EDO, temos que
E se substituirmos no lado direito, teremos que
Então os dois lados da equação são iguaizinhos! Logo, essa é uma solução da EDO!
Em resumo:
Para resolver uma equação separável, siga os seguintes passos:
E o que seriam equações homogêneas? Elas devem satisfazer uma relação:
O que isso quer dizer? Veja a cara da EDO a seguir:
Então temos que , vamos fazer o teste agora:
Logo essa é uma EDO homogênea, sacou?! Ok, e o que isso tem de diferente? Sempre que você identificar uma EDO homogênea, aplique a mudança de variável , então a EDO vira separável! Evidentemente agora ela não é mais função de e , mas de e .
Exemplo)
Então
Segunda coisa a fazer é verificar se é homogênea:
É homogênea, então fazemos a substituição , logo:
Vamos jogar isso na EDO
Arrumando a EDO:
Virou uma EDO separável! Então vamos calcular como sempre:
Integrando:
Vou chamar de e sabemos que
Agora voltamos a variável antiga:
Terminando:
E tchã, terminamos, repara que isso é solução de uma família de curvas =)..mas bem, não que importe muito.
Então galera, os passos para resolver EDO homogênea:
Galera, isso aqui é rapidinho, a ideia é, às vezes você tem uma EDO de grau 2 por exemplo, e da pra facilitar transformando ela em uma EDO de grau 1. Essa teorizinha vai ser servir pra todos os outros capítulos, pode ser útil, então fica de olho aqui:
Reduzindo ordem de 2 para 1
Caso 1:
Imagina que você tem uma EDO que tem a cara
Tipo essa EDO aqui ó:
Pra esse tipo de EDO a gente pode fazer a seguinte substituição:
A Edo vai fica
Sacou? Reduzimos a ordem, virou de grau 1! Calma, você ainda não sabe como resolver uma EDO com essa cara, mas a gente vai aprender já já! A única coisa que você tem que se ligar por agora, quando você resolver essa EDO vai encontrar , não esqueça de que você quer encontrar , não , então substituindo , e calcula quem é , sacou?
Caso 2:
Podemos ter uma EDO com a seguinte cara
Tipo essa aqui:
Não tem a variável independente , o que você faz nesses casos é imaginar como a variável independente e faz a substituição , mas calma, não esquece que:
Mas cuidado, não podemos ficar em função de , se lembra que a nova variável independente é o ? Então aqui vai a regra da cadeia:
Então:
Mas a gente já viu também que
Assim ficou:
Vamos substituir isso na EDO que a gente mostrou?
Opa, é uma EDO de grau 1 agora, sacou? Não se preocupa em como resolver essas coisas por enquanto, nos próximos capítulos a gente mostra, o importante agora é você entender que essa redução de ordem serve para reduzir a ordem de EDOs, e que isso pode ser útil para caramba!