Enunciado

Um móvel executa MHS e obedece à função horária x = 2 c o s ( 0,5 π t + π ) , no SI. O tempo necessário para que este móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima e o valor da aceleração no instante t são, respectivamente:

(a) 1 s e - π 2 / 2 cos(π/2t+π)

(b) 1 s e - π cos(2π/2t+2π)

(c) 2 s e - π   2 / 4 cos(π/2t+π)

(d) 1 s e - π   3 / 2 cos(3π/2t)

(e) 2 s e -   π /4 cos(π/2t+π)

Passo 1

Em um período, o móvel em MHS faz uma oscilação completa. O que queremos saber é o tempo pro móvel sair da posição de equilíbrio e chegar à elongação máxima! Isso corresponde a um quarto de oscilação completa. Então se descobrirmos o período, é só dividir ele por quatro. Oba! Temos uma fórmula pra isso:

T =   2 π ω

E como já temos a função horária, podemos compará-la com a forma geral:

x t = A   c o s ( ω t + φ )

x ( t ) = 2 c o s ( 0,5 π t + π )

E daí podemos tirar que ω = 0,5 π   r a d / s . Po, agora é só substituir!

T =   2 π ω = 2 π 0,5 π = 4   s

Dividindo por 4 então:

T 4 = 4 4 = 1   s

Passo 2

Vamos lembrar que a aceleração é igual à segunda derivada da posição! Show, então só precisamos derivar a função horária da posição que ele já deu. Derivando então:

x t = 2 c o s ⁡ ( 0,5 π t + π )

d   x ( t ) d t =   - 2 0,5 π s e n 0,5 π t + π = - π s e n 0,5 π t + π

d 2 x ( t ) d t 2 = - π 0,5 π c o s 0,5 π t + π = - π 2 2 c o s π 2 t + π

Resposta

Letra A.

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