Exercícios Resolvidos de Energia Total Relativística

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Enunciado

Uma partícula instável, de massa de repouso M 0 , inicialmente em repouso, decai produzindo duas partículas idênticas. Suponha que a massa de repouso m 0 e a energia cinética K de cada uma das partículas finais sejam conhecidas. Considere também que o sistema permanece isolado ao longo de todo o processo.

(a) Seja v a velocidade de uma das partículas de massa de repouso m 0 . Calcule v/c, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Expresse sua resposta em termos de   m 0 , K e c.

(b) Calcule o valor da massa M 0 , expressando sua resposta em termos de m 0 , K e c.

(c) Determine v, quando m 0 = 0.

Passo 1

Antes de tudo devemos nos lembrar do conceito de energia total relativística. Sabemos que podemos definir a nossa energia relativística com base em apenas dois conceitos ou com base na sua fórmula geral, vamos analisar cada um.

Primeiro vamos entender com escrever a nossa energia relativística com base em outros dois conceitos

A nossa primeira fórmula é

E = E 0 + K

Em que

E = E n e r g i a   R e l a t i v i s t i c a  

E 0 = E n e r g i a   d e   R e p o u s o = m 0 . c 2  

K = E n e r g i a   c i n e t i c a  

Ou seja, a nossa energia de repouso total se baseia na energia inicial de repouso e da energia cinética adquirida pela partícula.

Mas lembra que eu disse que podemos calcular nossa energia relativística total através de outra fórmula?

Nossa segunda fórmula será dada por

E = γ . m 0 . c 2

Em que γ é o fator de Lorentz dado pela fórmula

γ = 1 1 - ( v c ) 2

Que podemos reescrever da seguinte forma

γ = 1 1 - ( β ) 2

Lembrando que com essa fórmula já calculamos o valor total da energia relativística já contabilizando o valor de energia de repouso e de energia cinética.

Passo 2

Agora que já conhecemos todas essas relações podemos escrever as duas fórmulas como uma sendo igual a outra, já que ambas expressão a energia total relativística.

γ . m 0 . c 2 = E 0 + K

m 0 . c 2 1 - ( β ) 2 = m 0 . c 2 + K

Isolando os termos com m 0 . c 2 e colocando-os em evidencia, teremos:

m 0 . c 2 = ( 1 - ( β ) 2 ) ( m 0 . c 2 + K )

m 0 . c 2 m 0 . c 2 + K = 1 - ( β ) 2

m 0 . c 2 m 0 . c 2 + K 2 = 1 - ( β ) 2

Isolando o valor de β teremos

β = 1 - m 0 . c 2 m 0 . c 2 + K 2

Fazendo mmc

β = ( m 0 . c 2 + K ) 2 - ( m 0 . c 2 ) 2 ( m 0 . c 2 + K ) 2

β = ( m 0 . c 2 ) 2 + 2 ( m 0 . c 2 . K ) + K 2 - ( m 0 . c 2 ) 2 ( m 0 . c 2 + K ) 2

β = 2 . m 0 . c 2 . K + K 2 ( m 0 . c 2 + K ) 2

β = K 2 + 2 K m 0 c 2 ( K + m 0 . c 2 ) 2

Como β = v c teremos que

v c = K 2 + 2 K m 0 c 2 ( K + m 0 . c 2 ) 2

Passo 3

Agora que cumprimos o primeiro objetivo vamos para o segundo objetivo. Nesse caso será muito simples, mas tem que tomar o seguinte cuidado, nos vamos usar aqui um conceito muito antigo, e que já é nosso amigo a muito tempo, que nesse caso é a conservação de energia. Sabemos o seguinte, antes temos uma partícula de massa M 0 incialmente em repouso, logo sabemos que a sua energia antes é

E a n t e s = M 0 . c 2

Que é a energia de repouso da partícula, porem ela sofre um decaimento ate que produz duas partículas de massa de repouso igual a m 0 .

Vimos que nesse caso a energia dessa partícula é dada por

E = E 0 + K

Mas tome muito cuidado, lembre-se que surgiram duas partículas , ou seja, a energia final será.

E d e p o i s = 2 ( E 0 + K )

Em que sabemos que pode ser escrito como

E d e p o i s = 2 ( m 0 . c 2 + K )

Dessa forma, igualando as equações teremos

M 0 . c 2 = 2 ( m 0 . c 2 + K )

Agora é simples, basta isolar M 0 e cumprir o segundo objetivo.

M 0 = 2 ( m 0 . c 2 + K ) c 2

M 0 = 2 K c 2 + 2 m 0

Passo 4

Agora o terceiro passo é bem simples, lembra que já calculamos uma fórmula que coloca m 0 em função de β , calculamos essa relação no primeiro objetivo, vamos trazer ela de volta.

v c = K 2 + 2 K m 0 c 2 ( K + m 0 . c 2 ) 2

Substituindo m 0 = 0 teremos que

v c = 1

Ou seja

v = c

O que era de se esperar. Na relatividade, partículas com massa nula só podem se deslocar com a velocidade da luz, exatamente como o fóton, fótons possuem massa nula e consequentemente se movem na velocidade da luz, é bom saber isso pois se caso você estiver na prova e usar a massa da partícula igual a zero e não der que a velocidade dela é igual a da luz, significa que você fez o calculo errado.

Resposta

a) v c = K 2 + 2 K m 0 c 2 ( K + m 0 . c 2 ) 2

b) M 0 = 2 K c 2 + 2 m 0

c) v = c

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