Considere a seguinte função f : I R - I R dada por:

f x = x 2 - 3 x + 2 b x 2 - 1 ,     x < 1 sin ⁡ x 2 - 1 x - 1 ,     x > 1 c ,     x = 1

Os valores reais de b ≠ 0 e c que tornam f contínua são:

  1. b = - 1 4 e c = 2
  2. b = - 1 2 e c = 2
  3. b = - 1 3 e c = 2
  4. b = - 1 2 e c = 1
  5. b = - 1 4 e c = 1

Passo 1

Vamos lá. A questão quer saber valores de b e c pra que f x seja contínua. Beleeeza então. Como a questão é definita por partes e x = 1 é o ponto que separa as leis de formação, vamos ter que:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

Se isso aí for verdade, então sim nossa função é contínua! Partiu então calcular cada um dos limites:

Passo 2

Calculando lim x → 1 - ⁡ f x

Nesse limite, queremos x → 1 por valores menores que 1 . A lei de formação que vale pra x < 1 é:

x 2 - 3 x + 2 b x 2 - 1

Então vamos calcular:

lim x → 1 - ⁡ x 2 - 3 x + 2 b x 2 - 1

Vamo que vamo. A primeira coisa a notar é que se substituirmos, vamos ter uma indeterminação, saca só:

1 - 3 + 2 b 1 - 1 = 0 0

Então não vai rolar calcular o limite direto. Vamos reescrever esse limite então. A começar pelo numerador. E opa, perai, um polinômio de segundo grau? Issai cheira à resolução por Bháskara em! Nesse caso, seja:

a x 2 + b x + d

Podemos reescrever para

a x - x 1 x - x 2

Onde x 1,2 são as raízes do polinômio, dadas por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Temos então:

a = 1 b = - 3 c = 2

As raízes vão ser então:

x 1,2 = - - 3 ± - 3 2 - 4.1 . 2 2.1 = 3 ± 9 - 8 2

x 1,2 = 3 ± 1 2 = 3 ± 1 2  

x 1,2 = 3 + 1 2 = 2 3 - 1 2 = 1

O polinômio de segundo grau fica:

x 2 - 3 x + 2 = x - 1 x - 2

Pro denominador agora, temos uma diferença de quadrados! Esse aí sai pelo produto notável:

a 2 - b 2 = a - b a + b

Sendo assim:

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

Podemos reescrever o limite pra:

lim x → 1 - ⁡ x 2 - 3 x + 2 b x 2 - 1 = lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 2 b x - 1 x + 1 = lim x → 1 - ⁡ x - 2 b x + 1

E agora sim a indeterminação sumiu! Aplicando o limite então, temos:

lim x → 1 - ⁡ x - 2 b x + 1 = 1 - 2 b 1 + 1 =   - 1 2 b

Passo 3

Calculando lim x → 1 + ⁡ f x

Nesse limite, queremos x → 1 por valores maiores que 1 . A lei de formação que vale pra x > 1 é:

sin ⁡ x 2 - 1 x - 1

Então vamos calcular:

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 2 - 1 x - 1

De novo, se a gente substituir direto, dá indeterminação. Dá uma olhada:

sin ⁡ 1 - 1 1 - 1 = sin ⁡ 0 0 = 0 0

Um truque pra resolver esse limite que parece meio complicadinho é pensar: vi seno ou cosseno, bora tentar reescrever pro limite fundamental trigonométrico. Então vamos lá! Se fizermos uma substituição:

u = x 2 - 1

Vamos ter que:

x → 1             ;         u → 0

u + 1 = x 2 → x = ± u + 1

Nesse caso, como x > 1 , então o sinal de negativo do ± acima some. Reescrevendo o limite, temos então:

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u + 1 - 1

Ok ok, a indeterminação não sumiu ainda, dá uma olhada:

sin ⁡ 0 0 + 1 - 1 = 0 1 - 1 = 0 0

Mas agora a gente tem uma nova estratégia: eliminar a raiz do denominador! Dessa forma acabamos ficando com um u sem raiz no denominador. Pra isso a gente multiplica em cima e em baixo por ninguém mais e ninguém menos que o conjugado do denominador! Partiu então:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u + 1 - 1 = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u + 1 - 1 u + 1 + 1 u + 1 + 1 =

= lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u + 1 - 1 u + 1 + 1 = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u u + 1 + 1

Da propriedade dos limites:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u u + 1 + 1 = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim u → 0 ⁡ u + 1 + 1

E olha ali! O limite fundamental trigonométrico finalmente apareceu! Como:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

E

lim u → 0 ⁡ u + 1 + 1 = 1 + 1 = 2

Fechamos o limite como:

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 2 - 1 x - 1 = 2

Passo 4

Juntando tudo

Bem, já calculamos os dois limites, vamos agora juntar tudo. Seja:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

Então:

- 1 2 b = 2 = c

Fazendo as contas, tiramos então que

c = 2

b = - 1 2 c = - 1 2.2 = - 1 4

A letra com essa resposta é a Letra A!

MACETE MAROTA: Se você não calculasse lim x → 1 + ⁡ f x , acharia somente - 1 2 b = c . Ou seja, o produto b c seria igual à - 1 2 . Por eliminação, a letra A é a única que dá isso!

Resposta

L e t r a   A

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2