Calcule os seguintes limites:

a   lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ 2 x

Passo 1

Ao substituir x → 0 + olha o que acontece no limite:

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ 2 x = tg ⁡ 0 2 ln ⁡ 0

= 0 2 - ∞ = 0 0

Essa é uma indeterminação! Para fugirmos dela vamos transformar essa indeterminação de expoente em uma de quociente para depois poder usar L’Hospital!

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ 2 x = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ 2 x

= lim x → 0 + ⁡ e 2 ln ⁡ tg ⁡ x ln ⁡ 2 x

Vamos concentra nesse limite que aparece no expoente da função acima. Assim que resolvermos podemos voltar o resultado para cá.

Passo 2

Resolvendo esse cara agora:

lim x → 0 + ⁡ 2 ln ⁡ tg ⁡ x ln ⁡ 2 x → L ' H lim x → 0 + ⁡ 2 tg ⁡ x ' tg ⁡ x 2 x ' 2 x

= lim x → 0 + ⁡ 2 sec 2 ⁡ x tg ⁡ x 2 2 x

= lim x → 0 + ⁡ 2 x 1 cos 2 ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ 2 x sen ⁡ x 1 cos ⁡ x

O limite fundamental apareceu ali, vai para 1 :

lim x → 0 + ⁡ 2 x sen ⁡ x 1 cos ⁡ x = 2 1 1

= 2

Passo 3

Voltando para o limite inicial:

lim x → 0 + ⁡ e 2 ln ⁡ tg ⁡ x ln ⁡ 2 x = e 2

Resposta

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ 2 x = e 2

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