Calcule o comprimento do gráfico de y = ln ⁡ cos ⁡ x em 0 , π 4 .

Passo 1

Aplicando a fórmula, o comprimento é:

L = ∫ 0 π 4 1 + y ' x 2 d x

Então vamos derivar y x . Pela regra da cadeia:

y ' x = 1 cos ⁡ x - sen ⁡ x = - tg ⁡ x

Passo 2

Portanto:

L = ∫ 0 π 4 1 + - tg ⁡ x 2 d x = ∫ 0 π 4 1 + tg 2 ⁡ x d x

Agora é hora de lembrar daquela identidade trigonométrica:

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Logo,

L = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x

Mas repara que em 0 , π 4 :

cos ⁡ x > 0 ⇒ sec ⁡ x > 0 ⇒ sec ⁡ x = sec ⁡ x

Então:

L = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x

Passo 3

Essa integral a gente sabe calcular:

L = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x 0 π 4 = ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tg ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tg ⁡ 0

L = ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 2 + 1 - 0

⇒ L = ln ⁡ 2 + 1

Só uma curiosidade idiota:

ln ⁡ 2 + 1 = arcsenh ⁡ 1

Resposta

ln ⁡ 2 + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Conforme a figura abaixo, uma viga horizontal com dimensões 2 pol × 6 pol × 16 pés (12 pol = 1 pé) fixada nos dois extremos é sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 120 lb/pé. Como resultado
Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
Ache o comprimento da curva. y = ln ⁡ ( sec ⁡ x ) , 0 ≤ x ≤ π / 4
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva. y = 3 + 1 2 cosh ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ 1