Questão 1: Calcule a integral de linha
Onde é o trecho da intersecção das superfícies e , do ponto ao ponto e que está contido no semi-espaço .
Passo 1
Bem... Para resolvermos essa integral de linha escalar, podemos sempre seguir o passo a passo a baixo:
- Parametrizar a curva
- Trocar os termos da função pelos da parametrização
- Encontrar o termo
Bora?! :D
Passo 2
Sim, parametrizar a curva , mas a pergunta mais ideal a fazer por enquanto é: quem é a ?
Bem, como o próprio exercício já nos disse, a curva é a interseção do paraboloide com um plano paralelo ao eixo ...
Formando, mas cuidado que só queremos a curva indo de ao ponto – lembrando ainda que essa curva está na parte onde ...
E essa curva destacada aí é a nossa queridinha !
Passo 3
Como já mencionamos, a curva é a intercessão de duas superfícies no espaço. Então nada mais justo que realizar essa intercessão na matemática também, concorda?
Fazer isso é resolver o sistema com as duas equações:
Completando quadrado em já que ...
Essa equação representa uma circunferência de raio e deslocada de unidades e , quer ver só?!
Passo 4
A parametrização de circunferências centradas na origem sempre será:
como a nossa curva está fora da origem e sim centrada no ponto, a parametrização fica
Sendo , o raio dessa curva: ...
Quanto ao ... Bem, já vimos que ele é , logo
E a parametrização final fica sendo...
Passo 5
Você acha que a parametrização acabou ali? Se achar, calma jovem, uma parametrização só termina quando você informa onde o parâmetro, no caso , varia na curva do enunciado, ou seja na curva ...
Podemos perceber na figura
Que estamos presos na curva por dois pontos:
- Um ponto de inicio :
- E um ponto de fim :
Veja então que bastou pegar os pontos e substituir na parametrização da curva, para descobrir o inicio e o fim do parâmetro na curva:
Passo 6
Sendo assim, a nossa próxima função aqui é justamente mudar a função para os termos dessa parametrização (basta trocar esse , e aí):
Passo 7
Devemos agora encontrar o termo fazendo
Derivando a curva, portanto...
extraindo o módulo desse vetor derivada...
portanto
Passo 8
Agora basta que peguemos os três ingredientes anteriormente encontrados e substituirmos na integral...
O será substituído pela variação do parâmetro:
Agora basta que calculemos esta integral simples que apareceu fazendo uma substituição...
Não se esquecendo de também de trocar os limites...
Logo...
Resposta
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