Resolva as equações diferenciais:

a   4 y 2 sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y 2 cos ⁡ x 2 d x + 4 x y sen ⁡ x 2 + 4 y 2 d y = 0

Passo 1

Olha aí, tem cara de equação exata, mas não é exata.

Por que não? Porque

M x , y = 4 y 2 sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y 2 cos ⁡ x 2 → ∂ M ∂ y = 8 y sen ⁡ x 2 + 16 x 2 y cos ⁡ x 2

N x , y = 4 x y sen ⁡ x 2 + 4 y 2 → ∂ N ∂ x = 8 x 2 y cos ⁡ x 2 + 4 y sen ⁡ x 2

e vemos que

∂ M ∂ y ≠ ∂ N ∂ x

Assim, precisamos de fato de um fator integrante para resolver esta equação quase exata.

Passo 2

Vamos calcular assim:

h y = ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y M

h y = 8 x 2 y cos ⁡ x 2 + 4 y sen ⁡ x 2 - 8 y sen ⁡ x 2 - 16 x 2 y cos ⁡ x 2 4 y 2 sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y 2 cos ⁡ x 2

h y = 8 x 2 y - cos ⁡ x 2 + 4 y - sen ⁡ x 2 4 y 2 sen ⁡ x 2 + 2 x 2 cos ⁡ x 2

h y = - 4 y ( sen ⁡ x 2 + 2 x 2 cos ⁡ x 2 ) 4 y 2 ( sen ⁡ x 2 + 2 x 2 cos ⁡ x 2 ) = - 1 y

Que bom que ficamos com uma função de y !

Passo 3

Beleza, então vamos encontrar o fator integrante agora:

I y = e ∫     f y d y

I y = e ∫     - 1 y d y

I y = e - l n ⁡ | y |

I y = e - ln ⁡ y = 1 y

E multiplicamos a equação toda por ele:

1 y 4 y 2 sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y 2 cos ⁡ x 2 d x + 1 y 4 x y sen ⁡ x 2 + 4 y 2 d y = 0

4 y sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y cos ⁡ x 2 d x + 4 x sen ⁡ x 2 + 4 y d y = 0

Passo 4

A nova equação é exata, aí fazemos o mesmo procedimento:

M x , y = 4 y sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y cos ⁡ x 2 → ∂ M ∂ y = 4 sen ⁡ x 2 + 8 x 2 cos ⁡ x 2

N x , y = 4 x sen ⁡ x 2 + 4 y → ∂ N ∂ x = 4 sen ⁡ x 2 + 8 x 2 cos ⁡ x 2

Agora sim,

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 5

Vamos tomar primeiro a integral

∫     N x , y d y = ∫ 4 x sen ⁡ x 2 + 4 y d y = 4 x y sen ⁡ x 2 + 2 y 2 + g x

E derivamos isso com relação a y :

∂ ∂ x 4 x y sen ⁡ x 2 + 2 y 2 + g x = 4 y sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y cos ⁡ x 2 + g ' x

Passo 6

Igualando o obtido no passo 5 com M x , y :

4 y sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y cos ⁡ x 2 = 4 y sen ⁡ x 2 + 8 x 2 y cos ⁡ x 2 + g ' x

g ' x = 0

Integrando para obtermos g y (sem acrescentar a constante):

∫ g ' x d y = ∫ 0 d x = 0

Passo 7

Obtenha a função u x , y = ∫     N x , y d y :

u x , y = 4 x y sen ⁡ x 2 + 2 y 2

A solução é dada por u x , y = C :

4 x y sen ⁡ x 2 + 2 y 2 = C

Resposta

4 x y sen ⁡ x 2 + 2 y 2 = C

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores