Determinar se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 1 - cos ⁡ 1 n

Passo 1

Vamos começar considerando a série absoluta

∑ n = 1 ∞ n 1 - cos ⁡ 1 n

Vamos comparar essa série com alguma outra. Em especial, temos a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2

que é uma p - série com p = 3 / 2 > 1 . Assim está serie converge. Beleza, então vamos aplicar o teste da comparação no limite, com:

lim n → ∞ ⁡ n 1 - cos ⁡ 1 n 1 n 3 / 2 = lim n → ∞ ⁡ n 3 / 2 + 1 / 2 1 - cos ⁡ 1 n =

lim n → ∞ ⁡ n 2 1 - cos ⁡ 1 n

Passo 2

Beleza, e agora? Agora usamos uma propriedade trigonométrica. Teremos que:

sen 2 ⁡ θ 2 = 1 - cos ⁡ θ 2

Assim, teremos:

1 - cos ⁡ 1 n = 2 sen 2 ⁡ 1 2 n

Show, então nosso limite vai ficar:

lim n → ∞ ⁡ n 2 1 - cos ⁡ 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 2 sen 2 ⁡ 1 2 n = 2 l i m n → ∞ n ⋅ sen ⁡ 1 / 2 n ⋅ n ⋅ sen ⁡ 1 / 2 n

Para deixar mais claro o que tá rolando, vamos fazer agora a substituição: u = 1 2 n ⟹ n → ∞ ⟹ u → 0

Assim, teremos:

2 l i m n → ∞ n ⋅ sen ⁡ 1 / 2 n ⋅ n ⋅ sen ⁡ 1 / 2 n = 2 l i m u → 0 sen ⁡ u 2 u l i m u → 0 sen ⁡ u 2 u = 1 2 l i m u → 0 sen ⁡ u u l i m u → 0 sen ⁡ u u

Pelo limite fundamental trigonométrico:

lim n → ∞ ⁡ n 1 - cos ⁡ 1 n 1 n 3 / 2 = 1 2 l i m u → 0 sen ⁡ u u l i m u → 0 sen ⁡ u u = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 2

Como:

0 < 1 2 < 1

Temos:

0 < lim n → ∞ ⁡ n 1 - cos ⁡ 1 n 1 n 3 / 2 < 1

e a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2

converge, segue pelo teste da comparação no limite que

∑ n = 1 ∞ n 1 - cos ⁡ 1 n

converge e, portanto, a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 1 - cos ⁡ 1 n

converge absolutamente. 😊

Resposta

Converge absolutamente.

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1