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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 7

Dados quatro vetores no espaço, prove que um deles é combinação linear dos outros três.

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Para esse exercício vamos nos lembrar de um teorema muito importante dentro da álgebra linear e com ele resolveremos nosso exercício, o teorema diz que:

Seja B   =   { v 1 ,   v 2 ,   . . . ,   v n   } uma base do espaço vetorial V . Então, todo vetor v   ∈ V se exprime de maneira única como combinação linear de B.

Ou seja ao aplicarmos esse teorema temos que esse quatros vetores formam uma base no espaço vetorial V, o que significa que ao provamos esse teorema estaremos resolvendo nosso exercício!

Preparado para essa demonstração?

Passo 2

Tendo em vista que B é uma base de V , para v   V pode-se escrever:

v   =   a 1 v 1   +   a 2 v 2 +   . . .   +   a n v n (1)

Supondo que o vetor v pudesse ser expresso como outra combinação linear dos vetores, vamos obter que :

v   =   b 1 v 1   +   b 2 v 2 +   . . .   +   b n v n (2)

Subtraindo, a equação ambas as equações, temos que:

0   =   a 1   –   b 1   v 1   +   a 2   –   b 2   v 2 +   . . .   +   ( a n   –   b n   ) v n

Tendo em vista que os vetores da base são LI:

a 1   –   b 1   =   0 ,   a 2   –   b 2   =   0 ,       a n   –   b n   =   0

Ou seja:

a 1 =   b 1   ,   a 2 =   b 2   , . . . ,         a n =   b n

Os números a 1   ,   a 2   ,   . . . ,   a n são, pois, univocamente determinados pelo vetor v e pela base

  { v 1   ,   v 2   ,   . . . ,   v n } .

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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