Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 38

Sejam três vetores unitários mutualmente ortogonais. Se é uma matriz cujas colunas são os vetores , então é invertível e . (Sugestão: mostre que .)

Passo 1

Oiii, tudo certinho? Vamos resolver mais uma questão aqui!

Nesta questão vamos começar lembrando o que define a inversa de uma matriz qualquer! Ela se dá como a matriz tal que:

Em que é a matriz identidade em 3 dimensões. Ser invertível quer dizer ter uma solução para a equação acima, vamos partir desta suposição, beleza? Agora, vamos tentar mostrar o que o enunciado nos pede através da sugestão. Bora lá!

Passo 2

Temos que

Portanto, temos que:

Vamos lembrar de mais algumas definições, beleza?

Passo 3

Se identificarmos que

E utilizando a informação que eles são vetores mutualmente ortogonais, temos que

Já que temos vetores unitários. Sendo assim, temos que

Portanto, temos que , como queríamos demonstrar. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Calcule a área do triângulo com vértices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3).

Sabe-se que o vetor X é ortogonal a i → + j → e a - i → + k → , tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre X e j → , tem-se cos θ0. Ache X.

Ache X tal que X xx ( vec i + vec k ) = 2 ( vec i + vec j - vec k ) e ‖X‖ = sqrt(6) .

Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5), D = (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo. Calcule a sua área.

Dado o triangulo de vértices A = (0, 1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC.