Exercícios Resolvidos de Ângulo entre Reta e Plano

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Enunciado

Seja r a reta obtida pela interseção dos planos π 1 :   x   + 2 y   - 3 z   =   0   e π 2 :   2 x   + y   - z   =   0   . uma equação geral do plano que passa por P   =   ( 1,1 , 1 ) e é perpendicular a reta r é:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual é a equação geral do plano que passa por P   =   ( 1,1 , 1 ) e é perpendicular a reta r . Mas para isso precisamos descobrir quem é a reta r . Como fazemos isso?

Passo 2

O enunciado nos informa que a reta r é a interseção de dois planos π 1   e   π 2 . Vamos calcular essa interseção. para isso precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

x   + 2 y   - 3 z   =   0

2 x   + y   - z   =   0  

(multiplicando a segunda por -2 e somando com a primeira)

- 3 x     - z   =   0  

⇒ z   =   - 3 x  

(multiplicando a segunda por -3 e somando com a primeira)

- 5 x     - y   =   0  

⇒ y   =   - 5 x  

Usando x como variável pivô, temos que o vetor diretor da reta será:

( 1 , - 5 , - 3 ) t

Como o ponto ( 0,0 , 0 ) é comum aos dois planos, a nossa reta r será:

r :   ( 1 , - 5 , - 3 ) t

Passo 3

Prontinho agora temos a nossa reta r . Mas vamos pensar um pouco: O que podemos dizer sobre o plano que queremos calcular sabendo que ele é perpendicular a reta r ?

Caramba, um plano pode ser definido por um ponto e seu vetor perpendicular. Logo o vetor perpendicular ao nosso plano será:

( 1 , - 5 , - 3 )

Além disso, como esse é o vetor perpendicular ao plano, qualquer vetor contido no plano também será perpendicular a ele. Então podemos usar dois pontos no plano para definir um vetor no plano. Usaremos o ponto P   =   ( 1,1 , 1 ) e o ponto Q   =   ( x , y , z ) . Então temos que

< ( P - Q ) , ( 1 , - 5 , - 3 ) >   =   0

(substituindo P e Q)

⇒ < ( 1 - x , 1 - y , 1 - z ) , ( 1 , - 5 , - 3 ) >   =   0

(Calculando o produto interno)

⇒ ( 1 - x )   - 5 ( 1 - y )   - 3 ( 1 - z )   =   0

⇒ x   -   5 y   -   3 z   +   7   =   0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

x   -   5 y   -   3 z   +   7   =   0

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