Derivada Por Definição

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Teoria

A derivada de uma função é a taxa de variação instantânea de em relação a em um ponto qualquer. Um exemplo super comum do nosso dia a dia é a velocidade instantânea, que é calculada dividindo a variação de espaço pela variação de um tempo muuuito pequenininho!

Bora ver como isso funciona?!

Como Calcular a Derivada por Definição

Para calcular a derivada por definição, usamos essa fórmula aqui:

Bora entender o que isso significa?! 🤩

📢 Clique para saber mais:

Derivada de um Ponto

Antes de qualquer coisa a gente precisa entender que a derivada é uma taxa de variação! Pra a gente entender na prática como isso funciona, se liga nos pontos e da função abaixo:

Gráfico de uma função qualquer
Gráfico de uma função qualquer

Imagina que queremos saber qual é a taxa de variação da função acima, entre os pontos e . A primeira coisa que temos que fazer é identificar esses pontos.

Esse é o valor que a gente andou no eixo pra sair do ponto e ir para o ponto . Lembrando que a gente quer a taxa de variação…Ou seja, o quanto variou em relação à . Saca só:

Taxa de variação de uma função qualquer
Taxa de variação de uma função qualquer

Podemos escrever da seguinte forma:

çã

Isso lembra a fórmula de inclinação da reta, não é? É isso mesmo! Agora a gente pode reescrever da seguinte forma:

çã

Mas se esse for beeeem pequeninho? Se ele for tão pequenininho que a gente pode dizer que ele se aproxima a zero? Podemos usar um limite de tendendo a zero!

Você terminou de conhecer a derivada por definição! 🥰 Representamos ela assim:

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Exemplo: Calcule a derivada de

Para calcular a derivada, precisamos saber a expressão para a função no ponto e no ponto :

Agora, vamos substituir isso na nossa expressão de definição de derivadas:

Podemos cortar o e teremos:

E pronto, encontramos a derivada! Agora vamos praticar com exercícios?

Exemplo: Calcule a derivada de

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Use a definição para calcular as derivadas da função. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.

f x = 4 - x 2

f ' - 3 , f ' 0 , f ' 1

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Trocando o valor de f x o limite vai ficar

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 - x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 - x 2 - 2 x Δ x - Δ x 2 - 4 + x 2 Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x Δ x - Δ x 2 Δ x

Podemos agora, cortar o Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ - 2 x - Δ x

Trocando o valor de Δ x por 0 o nosso limite vai ficar

f ' x = - 2 x

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Nem sempre vai ser só fazer umas continhas assim não, as vezes o limite fica mais brabo. Vamos ver isso nos próximos exercícios

Passo 3

Calma que ainda não acabou, falta achar a derivada nos pontos que ele pediu.

Agora é só trocar o valor de x pelo que ele pediu

f ' - 3 = - 2 - 3 = 6

f ' 0 = - 2 0 = 0

f ' 1 = - 2 1 = - 2

Resposta

f ' x = - 2 x

f ' - 3 = 6

f ' 0 = 0

f ' 1 = - 2

Exercício Resolvido #2

Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = x x - 1

Passo 1

Se antes de chegar nesse exercício você olhou a teoria (se não olhou, não tem problema que eu vou te explicando pelo caminho), você deve ter visto que para calcular uma derivada utilizando a sua definição, temos que resolver o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Até aqui tudo bem, só que no problema foi pedido para usarmos outra forma da definição. Mas repare que essas duas fórmulas são parecidas, então não muda muita coisa. As duas formas são equivalentes.

Então para resolver esse exercício vamos utilizar a fórmula que o problema deu. E o primeiro passo é começar trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z → x ⁡ z z - 1 - x x - 1 z - x

Passo 2

Como limite de z tende a x , vamos primeiro substituir z por x e ver se chegamos a algum resultado.

f ' x = lim z → x ⁡ x x - 1 - x x - 1 x - x = 0 0

Opa! Temos uma indeterminação. Então vamos mudar a estratégia.

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite. Primeiramente vamos juntar as frações que estão no numerador do limite:

f ' x = lim z → x ⁡ z x - 1 - x z - 1 x - 1 z - 1 z - x = lim z → x ⁡ x z - z - x z + x ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x = lim z → x ⁡ x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) z - x

Agora vamos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda:

f ' x = lim z → x ⁡ x - z x - 1 z - 1   . 1 z - x = lim z → x ⁡ x - z ( x - 1 ) ( z - 1 ) ( z - x )

Repara que

x - z = - z - x

f ' x = lim z → x ⁡ - z - x x - 1 z - 1 z - x

Simplificando z - x :

f ' x = lim z → x ⁡ - 1 x - 1 z - 1

Trocando o valor de z por x o nosso limite vai ficar

f ' x = - 1 x - 1 2

E pronto, fizemos a derivada pela definição.

Resposta

f ' x = - 1 x - 1 2

Exercício Resolvido #3

Use a fórmula

f ' x = lim z → x ⁡ f z - f x z - x

Para determinar a derivada da função abaixo

f x = 1 + x

Passo 1

Para fazer a definição de derivada, temos que fazer o seguinte limite

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Mas ele pediu para usarmos aquela forma da definição. Repara que essa é a segunda forma que escrevemos na teoria, então não muda muita coisa.

Agora, trocando o valor de f x , o nosso limite vai ser:

f ' x = lim z → x ⁡ 1 + z - 1 + x z - x

Passo 2

Vamos começar fazendo as contas dessa expressão dentro do limite

f ' x = lim z → x ⁡ 1 + z - 1 - x z - x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x

Substituindo z por x , temos uma indeterminação 0 / 0 .

Então vamos completar o conjugado no termo de cima, multiplicando por z + x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x z + x z + x

f ' x = lim z → x ⁡ z - x z - x z + x

Simplificando z - x

f ' x = lim z → x ⁡ 1 z + x

Passo 3

Agora, trocando z por x , vamos ter

f ' x = lim z → x ⁡ 1 z + x = 1 x + x

f ' x = 1 2 x

Resposta

f ' x = 1 2 x

Exercício Resolvido #4

  1. Quando uma função f : R → R é derivável no ponto p = 0 ?
  2. Dê a definição

  3. Usando a definição dada no item a , calcule a derivada da função

y = f x = 1 x + 1

No ponto p = 0 .

Passo 1

a )

Para uma função f ser derivável em um ponto, mas especificamente no ponto p = 0 , ela deve primeiro ser contínua nesse ponto.

Segundo, se então essa função for contínua no ponto zero e o limite

f ' p = lim Δ x → 0 ⁡ f p + Δ x - f p Δ x       →

f ' 0 = lim Δ x → 0 ⁡ f Δ x - f 0 Δ x

E esse limite existir, então a função é derivável no ponto p = 0

Passo 2

b )

Vamos na definição para achar essa derivada f ' 0 :

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x → 0 ⁡ 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x

Vamos juntar as duas frações do numerador:

= lim Δ x → 0 ⁡ 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + 1 - x + Δ x + 1 x + Δ x + 1 ) x + 1 Δ x

= lim Δ x → 0 ⁡ x + 1 - x + Δ x + 1 Δ x x + Δ x + 1 x + 1

Passo 3

Vamos aplicar x = 0 agora:

lim Δ x → 0 ⁡ 0 + 1 - 0 + Δ x + 1 Δ x 0 + Δ x + 1 0 + 1

= lim Δ x → 0 ⁡ 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 1

Pra facilitar na notação, vou trocar o Δ x por y :

lim Δ x → 0 ⁡ 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 = lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1

Passo 4

Substituindo o limite teremos uma indeterminação de 0 / 0 :

lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 = 1 - 1 0 1 = 0 0

Então vamos completar o conjugado no termo de cima. Assim, multiplicamos em cima e embaixo por ( 1 + y + 1 )   no limite:

lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 = lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 1 + y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 1 + y + 1 y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 2 - y + 1 2 y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 - ( y + 1 ) y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡       - y y y + 1 1 + y + 1

Corta o y de cima com o debaixo:

  =     lim y → 0 ⁡ - 1 y + 1 1 + y + 1

Passo 5

Agora basta substituir o limite:

lim y → 0 ⁡ - 1 y + 1 1 + y + 1

= - 1 0 + 1 1 + 0 + 1

= - 1 1 1 + 1

= - 1 2

Concluímos que a derivada desse cara nesse ponto p para p = x = 0 será:

f ' 0 = - 1 2

Resposta

a )     f   c o n t í n u a   e   o   l i m i t e   f ' 0 = lim Δ x → 0 ⁡ f Δ x - f 0 Δ x   e x i s t e .

b )   f ' 0 = - 1 2

Exercício Resolvido #5

Mostre, através da definição da derivada, que a derivada de um polinômio f x = x n é:

f ' x = n x n - 1

Passo 1

Começamos na definição da derivada:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x n - x n Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x .

Passo 2

O problema é ter que abrir um polinômio elevado a n .

E agora? É onde a álgebra vem ao resgate. Lembra do Binômio de Newton? Ele encontra regularidades que facilitam a representação do polinômio. Em outras palavras, ele vai nos ajudar a escrever a parte x + Δ x n de outra forma.

Então, usando o Binômio de Newton teremos,

x + Δ x n = ∑ i = 0 n n i x n - i   Δ x i

Então, galera, surgiram alguns termos que a gente não estava esperando né? Mas vamos lá!

n → é   o   n o   n o s s o   m a i o r   e x p o e n t e

i → v a i   i n d i c a r   o s   o u t r o s   e x p o e n t e s   q u e   a p a r e c e m ,   q u a n d o   a b r i m o s   a   e x p r e s s ã o

Agora vamos como calma!

Para i = 0 , temos

x + Δ x n = x n

Para   i = 1 , temos

x + Δ x n = n x n - 1 Δ x

Para i = 2 , temos

x + Δ x n = n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2

Sendo que nós temos todos esses termos em um somatório, né? Então fica assim,

x + Δ x n = x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + …

Substituindo na definição:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ x n + n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + … - x n Δ x

Repara que o x n cancela com - x n do final:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ n x n - 1 Δ x + n n - 1 2 x n - 2 Δ x 2 + … Δ x

Passo 3

Repara que sempre terá pelo menos um Δ x multiplicando o que sobrou. Podemos efetuar a divisão desse Δ x em cada termo:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ n x n - 1 + n n - 1 2 x n - 2 Δ x + …

Aplicando o limite, vão zerar todas essas potências de Δ x , restando só o primeiro termo, que não multiplica por Δ x . Deste modo,

f ' x = n x n - 1

Assim, a derivada de x n será n x n - 1 !

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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