Enunciado

Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

59.

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n

Passo 1

E aí, gente! Tudo show?

A questão pede pra achar o valor de x para a série convergir e depois fazermos a soma dela.

Vamos tentar sempre simplificar o máximo pra ficar mais fácil de visualizar.

Então, colocando n em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n = ∑ n = 0 ∞ x - 2 3 n

Opa! Esse formato é característico de uma série geométrica! Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso, temos que a = 1 (quando substituímos n = 0 na série) e r = x - 2 3 , uma vez que a é o primeiro termo da sequência e r é a relação comum.

Passo 2

Relembrando que:

Se r ≥ 1 , a série é divergente.

Se r < 1 , a série é convergente.

Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x .

Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

x - 2 3 < 1

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

- 1 < x - 2 3 < 1

- 3 < x   - 2 < 3

Colocando esse - 2 tanto para a inequação da esquerda quanto para a direita, ficaremos com:

- 1 < x < 5

E esse intervalo representa os valores de x para os quais a série é convergente!

Passo 3

Por fim, a soma será definida pela fórmula a seguir:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Substituindo a = 1 e r = x - 2 3 :

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n = 1 1 - x - 2 3

Fazendo o M.M.C. no denominador:

1 3 - x - 2 3

1 3 - x + 2 3 = 1 5 - x 3  

Divisão entre frações: repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração.

1 1 × 3 5 - x = 3 5 - x

Resposta

- 1 < x < 5

∑ n = 0 ∞ x - 2 n 3 n = 3 5 - x

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