Enunciado

Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

63.

∑ n = 0 ∞ e n x

Passo 1

Fala, galera.

Olha só, o enunciado diz que devemos encontrar os valores de x para a série convergir, e depois calcularmos a soma dela.

Primeiro passo é ver essa série com outros olhos. Então se reescrevermos essa série de outra maneira, teremos o seguinte:

∑ n = 0 ∞ e n x = ∑ n = 0 ∞ e x n

Epaaa! Esse formato é característico de uma série geométrica!!!

Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso, temos que a = 1 (valor encontrado quando substituímos n = 0 na série dada) e r = e x , uma vez que a é o primeiro termo da sequência e r é a relação comum, ou seja, a razão.

Passo 2

Vamos relembrar:

Se r ≥ 1 , a série é divergente.

Se r < 1 , então a série é convergente.

Beleza, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x .

Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

e x < 1

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

- 1 < e x < 1

No entanto, para quaisquer valores de x , sejam estes positivos ou negativos, e x nunca resultará em um valor negativo! Sendo assim, uma alteração totalmente válida nesse intervalo para mantê-lo real é:

0 < e x < 1

E esse intervalo representa os valores de x para os quais a série é convergente!

Também podemos aplicar o logaritmo natural e descobriremos que:

l n ⁡ ( e x ) < l n ⁡ ( 1 )

x < 0

Passo 3

Por fim, faremos a soma através fórmula da série geométrica:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ e n x = 1 1 - e x

Resposta

x < 0

∑ n = 0 ∞ e n x = 1 1 - e x

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