Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1   d y   d x

Passo 1

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 (eixo y ) até x = y 2 , enquanto y vai de 0 até 2 :

∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1   d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 0 y 2 1 y 3 + 1   d x   d y

Passo 2

Fazendo a primeira integral em x :

∫ 0 2 ∫ 0 y 2 1 y 3 + 1   d x   d y = ∫ 0 2 y 2 y 3 + 1   d y

Assim, chamando u = y 3 + 1 , temos que d u = 3 y 2   d y . Assim,

∫ 0 2 y 2 y 3 + 1   d y = 1 3 ∫ 1 9 1 u   d u = 1 3   ln ⁡ 9 - ln ⁡ 1 = 2 3 ln ⁡ 3

Resposta

2 3 ln ⁡ 3

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