Enunciado

Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ a n cujas somas parciais são dadas.

s n = n 2 - 1 4 n 2 + 1

Passo 1

Ei, mestre dos números! Está pronto para mergulhar fundo no mundo das séries e explorar os segredos matemáticos por trás delas?

Antes de começarmos, vamos relembrar alguns conceitos essenciais sobre séries.

Uma série é uma expressão matemática que representa a soma de uma sequência infinita de termos. É uma ferramenta poderosa na matemática, frequentemente utilizada para modelar fenômenos contínuos e realizar cálculos em situações complexas.

A soma da série é a soma de todos os seus termos, desde o primeiro até o infinito.

∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n ⏝ n   v e z e s

Agora, aplicaremos esses conceitos à série dada ∑ n = 1 ∞ a n , cujas somas parciais são representadas por s n , onde:

s n = n 2 - 1 4 n 2 + 1

Para encontrar a soma da série, precisamos calcular o limite de s n à medida que n tende ao infinito, desse jeito aqui:

∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ ⁡ s n

Passo 2

Para a sequência que nos foi dada, temos:

∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ ⁡ n 2 - 1 4 n 2 + 1

Para calcular este limite, podemos usar a regra do limite para frações. Neste caso, o grau do numerador e do denominador são os mesmos, então podemos dividir todos os termos por n ² para simplificar:

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 - 1 n 2 4 n 2 n 2 + 1 n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 2 4 + 1 n 2

Na expressão 1 n 2 , estamos basicamente dividindo 1 pelo quadrado de um número n . Conforme n aumenta, o denominador n 2 cresce muito mais do que o numerador 1. Isso significa que estamos dividindo uma quantidade cada vez menor (1) por um número cada vez maior ( n 2 ).

Ex: 1 1 2 = 1

              1 10 = 0,01

1 100 2 = 0,0001

1 1000 2 = 0,000001

Portanto, podemos concluir que os termos 1 n 2 se aproximam de zero à medida que n tende ao infinito.

Então, temos que:

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 2 4 + 1 n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 - 0 4 + 0

Passo 3

Aplicando o limite de fato, ficaremos com:

lim n → ∞ ⁡ s n = 1 - 0 4 + 0 =   1 4

Logo:

∴ ∑ n = 1 ∞ a n = 1 4

Resposta

∑ n = 1 ∞ a n = 1 4

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