Encontre a menor distancia do ponto (2,0, -3) ao plano x + y + z = 1 .

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos!

Aqui temos um ponto e um plano:

x + y + z = 1

2,0 , - 3

E a gente quer saber a menor distância entre eles!

Parece simples???

Pois é, meio simples mesmo. Existe uma fórmula só pra calcular a menor distância entre um ponto e um plano.

Para um plano:

A x + B y + C z + D = 0

E um ponto:

x 0 , y 0 , z 0

A distância entre eles é:

d = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D A 2 + B 2 + C 2

Então a gente tem basicamente que definir os coeficientes A , B e C e substituir na fórmula.

Passo 2

Como vimos no passo 1, para um plano A x + B y + C z + D = 0 e um ponto x 0 , y 0 , z 0 a distância entre eles é:

d = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D A 2 + B 2 + C 2

No caso do plano:

x + y + z = 1

Pra ficar na forma A x + B y + C z + D = 0 , vãos colocar o 1 pra esquerda:

x + y + z - 1 = 0

Assim identificamos com mais facilidade os coeficientes que multiplicam cada variável:

A = 1

B = 1

C = 1

D = - 1

E o ponto x 0 , y 0 , z 0 já foi dado:

x 0 , y 0 , z 0 = 2,0 , - 3

x 0 = 2

y 0 = 0

z 0 = - 3

Agora é só calcular d :

d = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D A 2 + B 2 + C 2

Substituindo os valores:

d = 1 ∙ 2 + 1 ∙ 0 + 1 ∙ - 3 + - 1 1 2 + 1 2 + 1 2

d = 2 - 3 - 1 3 = - 2 3

E finalmente:

d = 2 3

Resposta

2 3

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