Enunciado

Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?

a n = 1 - n 2 + n

Passo 1

Hey, pessoal! Tudo de boa?

Galerinha, uma função f x é dita monotônica se e somente se f ' ( x ) manter o mesmo sinal para todo x . Além disso, a função pode ser crescente se f x < f ( x + 1 ) para todo x e pode ser decrescente se f x > f ( x + 1 ) para todo x .

Caso a função não seja nem crescente, nem decrescente nós chamamos de sequência não monotônica, como é o caso de sequências cujos valores oscilam.

Vamos ver o nosso caso aqui.

f n = 1 - n 2 + n  

Para perceber o comportamento da nossa sequência podemos calcular seus primeiros termos. Depois, para achar se a sequência é limitada precisamos entender se ela tem limite superior e inferior. Podemos fazer isso analisando o comportamento da sequência e calculando seu limite.

Passo 2

Calculando os primeiros termos da sequência, temos:

Para n = 1 , temos:

f 1 = 1 - 1 2 + 1 = 0

Para n = 2 , temos:

f 2 = 1 - 2 2 + 2 = - 1 4

Para n = 3 ,   temos:

f 3 = 1 - 3 2 + 3 = - 2 5

Nesse caso, a sequência está descrescendo conforme aumenta o valor de n . Assim, temos uma função decrescente.

Passo 3

Vamos verificar agora se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!

lim n → ∞ ⁡ 1 - n 2 + n

Aqui vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência do denominador, ou seja, n , pois assim a gente fica com termos cujo comportamento é bem mais fácil de analisar quando n → ∞ :

l i m n → ∞ 1 n - 1 2 n + 1

Conforme nosso n vai crescendo indefinidamente, nossos termos que dependem de n vão tendendo a zero. Aplicando o limite, temos:

l i m n → ∞ 1 n - 1 2 n + 1 = 0 - 1 0 + 1 = - 1

Portanto, a sequência é limitada em - 1 !

Passo 4

Como nossa sequência é decrescente, o maior valor que ela vai assumir é o de a 1 = 0 e como acabamos de calcular o limite inferior dela é -1. Como a sequência tem limite superior e inferior, ela é limitada.

Resposta

A sequência é limitada e decrescente.

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