Enunciado

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ s e n 4 n 4 n

Passo 1

Vamos relembrar o que é absolutamente convergente?

Uma série a n é dita absolutamente convergente se eu posso criar uma série | a n | , e essa nova série for convergente. Então no nosso exercício teríamos que calcular a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ s e n 4 n 4 n

Condicionalmente convergente significa que ela é convergente, mas não é absolutamente convergente.

Identificar se uma série é absolutamente convergente é útil porque algumas séries, como as trigonométricas (Fica aqui a dica !!!) podem variar entre valores positivos e negativos sem ser alternadamente.

Por exemplo: (Atenção ao fato que os valores do seno estão em radianos)

∑ n = 1 ∞ s e n 4 n 4 n = s e n 4 4 1 + s e n 8 4 2 + s e n 12 4 3 + s e n 16 4 4 … .

- 0,7568 4 + 0,9893 16 - 0,5365 64 - 0,2879 256 …

Repare que não uma ordem clara quanto ao sinal da série. Não tem como sabermos se o termo será positivo ou negativo antes de calcular.

Agora eu vou te dar o pulo do gato!!! Guarde bem essa parte.

Há um teorema que diz o seguinte: Se uma série é absolutamente convergente. Então ela é convergente. Ou seja, para séries que é muito difícil descobrir se é convergente, podemos tentar descobrir se ela é absolutamente convergente. E isso será suficiente.

E para descobrir se a série ∑ n = 1 ∞ s e n 4 n 4 n converge, podemos utilizar o método da comparação. Que é bastante adequado quando eu posso fazer uma série parecida com a série dada, e que é fácil calcular a convergência.

Passo 2

Encontrando uma série parecida para fazer a comparação:

Uma dica essencial para encontrar a série de comparação é ver os termos de maior potência do numerador e do denominador. De modo que o numerador não há nenhum termo com potência de n e no denominador temos 4 n .Então nossa série de comparação (que será chamada de b n ) é a seguinte:

b n =   1 4 n

Preste bem atenção que essa é uma série geométrica de razão 1 4 . E por isso é convergente. Toda série que tiver essa cara será convergente se a razão for menor que 1 .

Passo 3

Agora meus amigos, temos que comparar as duas séries.Mas antes, vamos relembrar o que é o teste da comparação?

Se a série que eu selecionei para comparação converge. E se seus termos (com n indo ao infinito) são maiores ou iguais que os temos de uma outra série. Quer dizer que essa outra série também converge. Desde que ambas as séries sejam positivas.

Vamos comparar então: s e n 4 n 4 n   e   1 4 n

Sabemos que a função seno varia de 0 a 1 . Ou seja, podemos afirmar com certeza que:

s e n 4 n 4 n <   1 4 n

Como a função seno está em módulo, e a função de comparação sempre é positiva.

Então:

∑ n = 1 ∞ s e n 4 n 4 n

A série converge absolutamente.

Resposta

A serie converge absolutamente.

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