Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1

E perguntou se ela converge ou diverge. E agora?

Os testes de convergência servem justamente para comparar as séries que conhecemos e se podemos afirmar alguma coisa sobre outras séries! Se você olhar com carinho, essa série tem a cara mais genérica assim (pegando só as maiores potências)

∑ n 3 n 4 = ∑ 1 n

Uma potência de 1 / n ! essa é do tipo p - s é r i e

∑ 1 n p

Essa série é convergente para p > 1 e divergente para p ≤ 1 . Então essa é uma ótima opção para compararmos, mas que teste usar?

Se temos uma série que se parece com a nossa, então o teste indicado é o Teste da Comparação dos Limites!

Esse teste nos diz que se o limite da razão de duas séries for um número finito (seja ele qualquer), então as duas séries tem o mesmo comportamento! Então se conhecemos uma série e esse limtie der um número, podemos dizer o comportamento da nossa série!

Mas relaxa, vou fazer contigo!

Passo 2

Show de bola, galera. Partu aplicar o Teste da Comparação?

Reparemos que

n 3 n 4 - 1 ⏟ a n ≥ n 3 n 4 = 1 n ⏟ b n

Uma vez que o termo b n é de uma série harmônica, ou seja, b n é um termo de uma série divergente, chegamos à conclusão de que a nossa série também é divergente pelo Teste da Comparação!

Mas pra isso vamos comaprar os limites!

Passo 3

Vamos aplicar os limites

lim n → ∞ ⁡ a n b n = l i m n → ∞   n 3 n 4 - 1 n 3 n 4

Organzando temos

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 4 - 1 .   n 4 n 3 = lim n → ∞ ⁡ n 7 n 7 - n 3

No infinito podemos desprezar os termos de menor potência e constantes, então nosso limite fica finito! Saca só

lim n → ∞ ⁡ n 7 n 7 = 1

Isso significa que as duas séries tem o mesmo comportamento! E como

∑ 1 n

É uma p - s é r i e com p = 1 , e portanto divergente, então

∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1

É divergente também!

Resposta

∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1   é divergente

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Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 2)^(oo) (1)/(sqrt(n) - 1)
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro. ∑ n = 1 ∞ 1 5 + n 5
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^3 + 8)