Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou te ajudar aqui! O problema nos deu essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1

E precisamos decidir se ela converge ou diverge. E agora, como fazer isso? Através dos testes!

Os testes de convergência servem justamente para comparar as séries que conhecemos e se podemos afirmar alguma coisa sobre outras séries! Se você olhar com carinho, essa série tem a cara mais genérica assim

∑ 1 n 2

Uma potência de 1 / n ! essa é do tipo p - s é r i e

∑ 1 n p

Essa série é convergente para p > 1 e divergente para p ≤ 1 . Então essa é uma ótima opção para compararmos, mas que teste usar?

Se temos uma série que se parece com a nossa, então o teste indicado é o Teste da Comparação dos Limites!

Esse teste nos diz que se o limite da razão de duas séries for um número finito (seja ele qualquer), então as duas séries tem o mesmo comportamento! Então se conhecemos uma série e esse limtie der um número, podemos dizer o comportamento da nossa série!

Mas relaxa, vou fazer contigo!

Passo 2

Show de bola, galera. Partu aplicar o Teste da Comparação?

Reparemos que

1 n 2 + n + 1 ⏟ a n ≤ 1 n 2 ⏟ b n

Uma vez que o termo b n é de uma p-série com p = 2 > 1 , ou seja, b n é um termo de uma série convergente, chegamos à conclusão de que a nossa série também é convergente pelo Teste da Comparação!

Passo 3

Vamos aplicar os limites

lim n → ∞ ⁡ a n b n = l i m n → ∞   1 n 2 + n + 1 1 n 2

Organzando temos

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 = 1

No infinito podemos desprezar os termos de menor potência e constantes, então nosso limite fica finito!

Isso significa que as duas séries tem o mesmo comportamento! E como

∑ 1 n 2

É uma p - s é r i e com p = 2 , e portanto convergente, então

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1

É convergente também!

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1   é convergente

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Determine se a série converge ou diverge.sum_(k = 1)^(oo) (k s e n^2 k)/(1 + k^3)
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro. ∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 4
Determine se a série converge ou diverge.4-sum_(n = 1)^(oo) (2)/(n^3 + 4)
Determine se a série converge ou diverge.5-sum_(n = 1)^(oo) (5)/(2 + 3^n)
Determine se a série converge ou diverge.13-sum_(n = 1)^(oo) (n - 1)/(n 4^n)