Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

5.

∑ n = 1 ∞ n + 1 n n

Passo 1

Show de bola, galera?

O enunciado pede pra gente determinar se a série converge ou diverge.

O método mais rápido seria através do Teste da Comparação.

Primeiro, qual outra série a gente poderia utilizar para fazermos a comparação?

A gente pode desenvolver ela da seguinte maneira:

A parte dominante do numerador que nos deram foi n e a parte dominante do denominador é o n n . Assim temos que

∑ n = 1 ∞ b n =   ∑ n = 1 ∞ n n n

Simplificando por n :

∑ n = 1 ∞ n n n   ÷ n n

∑ n = 1 ∞ 1 n =   ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 2

Ou seja, chegamos a uma p-série, com o expoente p ≤ 1 , classificando esta série b n como divergente!

Passo 2

Vamos comparar agora:

Como a p-série tende ao infinito por ser divergente, então será considerado como o maior.

n + 1 n n ⏟ a n < 1 n ⏟ b n

Multiplicando meio pelos extremos:

n n + 1 < n n

n n + n < n n  

Como essa afirmação não é verdadeira, então iremos testar a comparação no limite!

Passo 3

Suponha que ∑ a n seja a série que nos deram, e ∑ b n a série que iremos usar para comparar.

Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Onde L é um número finito e > 0 , então ambas as séries ou convergem ou ambas divergem.

Agora vamos incluir tudo na fórmula:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n n 1 n

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n n × n 1

lim n → ∞ ⁡ n ( n + 1 ) n n

Cancelando o n :

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n

Fatorando n e simplificando:

lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n n

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n

Resolvendo o limite:

1 + 1 ∞

Como 1 ∞ tende a zero, então:

1 + 1 0 = 1

Veja que, se o resultado do limite deu um valor finito e positivo, a gente pode fazer a comparação. E como b n é uma série divergente, então a série dada na questão também só pode ser divergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ n + 1 n n   é divergente

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Determine se a série converge ou diverge.6-sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n - sqrt(n))
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.34- ∑ n = 1 ∞ 1 + cos ⁡ n n 5
Determine se a série converge ou diverge.19-sum_(n = 1)^(oo) (2^n)/(1 + 3^n)
Determine se a série converge ou diverge.28-sum_(n = 1)^(oo) (2 n^2 + 7 n)/(3^n ( n^2 + 5 n - 1 ))
Determine se a série converge ou diverge.11-sum_(n = 2)^(oo) (n^2 + 1)/(n^3 - 1)