Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + …

Passo 1

Faaaala, galera! Tudo beleza? Vamos pensar juntos o que essa questão quer da gente?! Precisamos determinar se a série abaixo é convergente ou divergente, certo?

1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + …

Para isso, primeiro precisamos encontrar o termo geral dessa série pra facilitar nossa vida! Daí depois podemos analisar se ela diverge ou converge.

Vamos então analisar os termos da série quanto: sinais, numeradores e denominadores.

Olhando então para a nossa sequência, podemos observar:

  1. Todos os termos são positivos, então não precisamos nos preocupar com os sinais.
  2. O numerador dos termos é sempre 1.
  3. No denominador, podemos observar que cada termo a partir do 5 aumenta de 2 em 2, ou seja, tem a forma 2 n + 3

Juntando tudo, temos que o termo geral da nossa série é

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 3

Beleza?!

Passo 2

Agora para determinarmos se essa série converge ou diverge, nós podemos fazer uso do Teste da Integral. Vocês sabem o que é? Ele é bem prático e simples!

Vamos supor que a nossa função f é contínua, positiva, decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) e que a n = f ( n ) . Então, a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se e somente se a integral imprópria ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:

  1. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é convergente;
  2. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é divergente.

Beleza?!

Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série é convergente ou divergente? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:

f x = 1 2 x + 3

Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) , não é? Logo, podemos usa o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:

∫ 1 ∞ 1 2 x + 3 d x

Passo 3

A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso??? Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!

∫ 1 ∞ 1 2 x + 3 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 2 x + 3 d x

Passo 4

Resolvendo a integral temos:

∫ 1 ∞ 1 2 x + 3 d x

Podemos calcular essa integral como o limite de uma integral definida, indo de 1 até t , e depois levando t ao infinito:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t 1 2 x + 3 d x

∫ 1 ∞ 1 2 x + 3 d x = lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 x + 3 1 t

Aqui, aplicamos a primitiva da função 1 2 x + 3 ​, que é   1 2 ln ⁡ 2 x + 3 , e avaliamos nos limites de integração de 1 até t . Continuando as contas, temos que

l i m t → ∞ 1 2 ln ⁡ 2 t + 3 - l n ⁡ ( 5 )

Quando t   tende ao infinito, 2 t + 3 também tende ao infinito. Portanto, o termo   1 2 ln ⁡ 2 x + 3   tende ao infinito, o que significa que a integral diverge.

∫ 1 ∞ 1 2 x + 3 d x = ∞

Como a integral é divergente, então, pelo Teste da Integral, a série ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 3 é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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