Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

1 + 0,4 + 0,16 + 0,064 + …

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Temos uma sequÊncia de números

1 + 0,4 + 0,16 + 0,064 + …

E precisamos decidir se essa sequência converge ou diverge. Ué, mas temos uma soma de números, como ela seria convergente!

Isso acontece se a sequência for uma série geométrica com razão menor do que 1! Se pudermos escrever essa soma de números como

∑ a r n

Com r < 1 sua soma é

s = a 1 - r

Beleza? Então a ideia é rescrever essa sequência para ver se ela se encaixa nessa série!

Passo 2

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar achar o termo geral, para sabermos como ela se comporta.

Para isso, vamos tentar olhar para esses valores em forma de fração

1 + 4 10 + 16 100 + 64 1000 + …

Essa série é uma série geométrica com a = 1 e r = 4 10 , como descobrimos isso? O a é sempre igual ao primeiro termo e para achar o r , basta dividir o segundo pelo primeiro e depois testar se essa é realmente uma série geométrica.

Neste caso realmente da certo, então podemos escrever essa série como

∑ n = 0 ∞ 4 10 n

Passo 3

Agora que sabemos que se trata de uma série geométrica, basta testarmos o r pra saber se ela converge.

Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = 4 10 e sabemos que 4 10 < 1 então a série converge.

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a fórmula

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Jogando a = 1 e r = 4 10

∑ n = 0 ∞ 4 10 n = 1 1 - 4 10 = 1 6 10 = 10 6 = 5 3

Então a série converge para 5 / 3

Resposta

1 + 0,4 + 0,16 + 0,064 + … = 5 3

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