Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

13-

- 2 + 5 2 - 25 8 + 125 32 + …

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos dá essa sequência de números

- 2 + 5 2 - 25 8 + 125 32 + …

Nossa missão aqui é determinar se essa sequência de números é convergente ou divergente. E se for convergente, para acharmos a soma. Mas como assim? Uma soma de infinitos números pode ser um valor finito?

Pode sim! Isso acontece com séries geométricas de razão menor do que o módulo de 1!

Quando podemos escrever a soma de números infinitos na forma de uma soma assim

∑ a 0 q n

Dizemos que a série é do tipo geométrica. E se a razão q for menor do que 1, então a soma desses infinitos números pode ser calculada assim

S n = a 0 1 - q

Beleza? Então a ideia é escrever a sequência dada em forma de série, identificar a razão q e ver se ela se encaixa no critério de convergência!

Beleza? Bora lá?

Passo 2

Nossa sequência é

- 2 + 5 2 - 25 8 + 125 32 + …

Ela começa em - 2 e o segundo número é 5 / 2 , então vamos ver qual é a razão: dividindo o segundo termo pelo primeiro

q = 5 2 - 2 = - 5 4

E para verificarmos que é uma série geométrica, vamos dividir o terceiro termo pelo segundo: se acharmos o mesmo fator q então ok! Temos uma série geométrica

q = - 25 8 5 2 = - 5 4

Beleza! Nossa razão é mesmo essa! Nossa série então pode ser escrita assim

∑ - 2 - 5 4 n

Passo 3

A série é uma progressão geométrica com razão igual a:

q = 5 2 - 2 = - 25 8 5 2 = … = - 5 4

E pelo módulo dessa série ser maior que 1 ou seja:

q = 5 4 > 1

Logo podemos dizer que a somatória dessa série só tenderá a crescer, sendo então uma série divergente.

Resposta

Série divergente.

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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.30- ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n + 5