Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

16-

∑ n = 1 ∞ - 6 n - 1 5 n - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos dá essa série numérica

∑ n = 1 ∞ - 6 n - 1 5 n - 1

Nossa missão aqui é determinar se essa série de números é convergente ou divergente. E se for convergente, para acharmos a soma. Mas como assim? Uma soma de infinitos números pode ser um valor finito?

Pode sim! Isso acontece com séries geométricas de razão menor do que o módulo de 1!

Quando podemos escrever a soma de números infinitos na forma de uma soma assim

∑ a 0 q n

Dizemos que a série é do tipo geométrica. E se a razão q for menor do que 1, então a soma desses infinitos números pode ser calculada assim

S n = a 0 1 - q

Beleza? Então a ideia é escrever a série dada na forma de série geométrica, identificar a razão q e ver se ela se encaixa no critério de convergência!

Beleza? Bora lá?

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 6 n - 1 5 n - 1

Precisamos reorganizar os termos em uma base comum com expoente n , para acharmos quem é a razão, então vamos começar separando os expoentes tanto do numerador quanto do denominador

∑ n = 1 ∞ - 6 n . - 6 - 1 5 n . 5 - 1

E podemos ainda agrupar os expoentes iguais

∑ n = 1 ∞ - 6 5 n   - 6 5 - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 5 6 . - 6 5 n

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos escrever os termos de nossa série

∑ n = 1 ∞ - 5 6 . - 6 5 n

Onde o primeiro termo será igual a 1 e os próximos termos formarão a série geométrica abaixo.

1 - 6 5 + - 6 5 2 + - 6 5 3 + …

Isso é a 1 = 1 e razão dessa série geométrica é igual a divisão do segundo termo pelo primeiro:

q = - 6 5

O módulo de q é maior que 1 se caracterizando numa série divergente.

Espero ter ajudado!

Resposta

Série divergente.

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Use o comando de frações parciais em seu C A S para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão parcial para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta
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