Enunciado

Duas carretas, A e B, estão conectadas por uma corda de 39 pés que passa por uma polia P. O ponto Q está sobre o chão 12 pés diretamente abaixo de P e entre as carretas. A carreta A está sendo puxada afastando-se de Q a uma velocidade de 2 pés/s. Quão rápido está se movendo a carreta B em direção a Q no instante em que A está a 5 pés de Q?

Passo 1

Opa, bora lá! Temos o seguinte esqueminha:

Onde A se move para a esquerda com 2 p é s / s , temos que a altura da polia até o chão é de 12   p é s e que a corda tem no total 39   p é s , logo:

s 1 + s 2 = 39

Queremos encontrar com que velocidade B se move para a esquerda, quando ele está A está a uma distância de Q de 5   pés, ou seja, nesse instante:

Perceba que a velocidade com que B se aproxima de Q é a nossa derivada de x 2 , portanto, o que queremos encontrar nessa questão é:

d x 2 d t

E para isso, vamos usar os triângulos formados e a famosa regra de Pitágoras.

Passo 2

Podemos começar encontrando o valor de s 1 , e para isso, vamos aplicar Pitágoras no triângulo retângulo menor que está a esquerda, onde teremos:

s 1 2 = x 1 2 + 12 2

Logo,

s 1 = x 1 2 + 12 2

Da mesma forma, podemos aplicar Pitágoras no triângulo retângulo menor que está a direita, onde teremos:

s 2 = x 2 2 + 12 2

E sabemos que, o comprimento total da corda é 39   p é s , logo:

s 1 + s 2 = 39

Portanto,

39 = x 1 2 + 12 2 + x 2 2 + 12 2

Como queremos encontrar d x 2 d t e temos d x 1 d t , então temos um bom indicativo de que é uma boa solução tentar derivar a expressão acima.

Passo 3

Derivando a seguinte expressão com relação ao tempo, teremos:

d d t 39 = d d t x 1 2 + 12 2 + d d t x 2 2 + 12 2

Aqui temos uma regra da cadeia com essa raíz, que precisamos tomar cuidado, além de não esquecer de que estamos derivando em t e nossa variável é x 1 e x 2 ,logo, tem que multiplicar por d x 1 d t e d x 2 d t no final:

0 = 1 2 x 1 2 + 12 2 2 x 1 d x 1 d t   + 1 2 x 2 2 + 12 2 2 x 2 d x 2 d t

Simplificando:

0 = x 1 x 1 2 + 12 2 d x 1 d t   + x 2 x 2 2 + 12 2 d x 2 d t

Sabemos o valor de d x 1 d t = 2 p é s / s , e positivo, pois essa velocidade de fato faz com que o x 1 aumente com o tempo. E também sabemos que x 1 é igual a 5   p é s .

0 = 5 2 25 + 12 2   + x 2 x 2 2 + 12 2 d x 2 d t

Agora precisamos encontrar o valor de x 2 no instante dado.

Passo 4

Só trazendo nossa figura de novo.

Olhando o triângulo da esquerda, podemos dizer por Pitágoras que:

s 1 2 = 12 2 + 5 2

s 1 = 13   p é s

Com essa informação, podemos agora encontrar o valor de s 2 , afinal sabemos que a corda no total tem 39   p é s .

s 1 + s 2 = 39

s 2 = 26   p é s

E para finalizar, podemos encontrar o valor de x 2 , aplicando Pitágoras no triângulo retângulo menor que está a direita, onde teremos:

26 2 = x 2 2 + 12 2

x 2 2 = 676 - 144

x 2 = 23,065

Passo 5

Para finalizar é só substituir:

0 = 5 2 25 + 12 2   + x 2 x 2 2 + 12 2 d x 2 d t

0 = 5 2 25 + 144   + 23,065 532 + 144 d x 2 d t

Resolvendo...

0 = 10 169 + 23,065 676 d x 2 d t  

0 = 10 13 + 23,065 26 d x 2 d t

E resolvendo para d x 2 d t , obtemos:

d x 2 d t = - 10 13 26 23,065

E por fim,

d x 2 d t = - 0,8 7   p é s / s

Resposta

d x 2 d t = - 0,87   p é s / s

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