Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 2 1 - sen ⁡ θ ,   θ ≥ 0

Passo 1

Fala ai pessoal! Tudo de boa?

Para esboçar a curva com a equação polar r = 2 ( 1 - s e n θ ) para θ ≥ 0 , que tal seguir os seguintes procedimentos. siga estes passos:

- Identificar o Comportamento de r

- Traçar os Pontos-Chave

- Esboçar a Curva

- Indicar carateríticas da curva.

Eai, entendeu? Vamos começar!!

Passo 2

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a disância do ponto até a origem e o θ o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 3

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de θ :

r θ = 2 - 2 sen ⁡ θ

Vamos calcular para 0 , π 2 ,   π , 3 π 2 e 2 π

Para θ = 0

r 0 = 2 - 2 sen ⁡ 0

r 0 = 2 - 0

r 0 = 2

Para θ = π 2

r π 2 = 2 - 2 sen ⁡ π 2

r π 2 = 2 - 2

r π 2 = 0

Para θ = π 2

r π = 2 - 2 sen ⁡ π

r π = 2 - 0

r π = 2

Para θ = 3 π 2

r 3 π 2 = 2 - 2 sen ⁡ 3 π 2

r 3 π 2 = 2 - 2 - 1

r 3 π 2 = 2 + 2

r 3 π 2 = 4

Para θ = 2 π

r 2 π = 2 - 2 sen ⁡ 2 π

r 2 π = 2 - 0

r 2 π = 2

Passo 4

Vamos verificar agora o comportamento de r em relação a θ :

A equação r = 2 ( 1 - s e n   θ ) representa um círculo com centro em ( 0,1 ) .

Quando θ = 0 , s e n   θ = 0 , então r = 2 ( 1 - 0 ) = 2 , ou seja, o ponto mais próximo da origem é ( 2,0 ) .

À medida que θ aumenta até π 2 ​, s e n   θ aumenta até 1 , então r diminui até 0 , alcançando o ponto mais distante ( 0,2 ) .

Passo 5

Desta forma o nosso gráfico começa com uma angulação de 0 à uma distancia de 2 da origem e até 90 º ou π 2 essa distancia diminui até 0 , até π ela aumenta de novo ate 2 , até 3 π 2 ela aumenta mais ainda para 4 e diminui até retornar à 0 ou 2 π para 2 .

Desenhando no plano fica algo assim:

Resposta

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