Enunciado

Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas.

r = 2 ( 1 + c o s θ )

Passo 1

Vamos simplificar a equação dada?

r = 2 ( 1 + c o s θ )

r = 2 + 2   c o s θ

Sabemos que:

- 1 ≤ c o s θ ≤ 1

Então:

π ≤ θ ≤ 0

Substituindo os intervalor la equaão e encontrar os valores de r .

Para θ = 0

r = 2 + 2 c o s θ

r = 2 + 2 c o s 0

r = 2 + 2.1

r = 4

Para θ = π

r = 2 + 2   c o s   π

r = 2 + 2 . ( - 1 )

r = 2 - 2

r = 0

Sendo assim, r alcança seu valor máximo em 4 e o mínimo em 0. E esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas, temos:

Passo 2

Agora só falta analisarmos a equação em coordenadas cartesianas. Esta curva será uma forma semelhante a uma pétala de rosa, simétrica em relação ao eixo x e ao eixo y .

- Os pontos mais distantes da origem na vertical ocorrem em ( ± 2,0 ) e ( 0 , ± 2 ) .

- Os pontos mais distantes da origem na horizontal ocorrem em ( ± 2,0 ) devido à característica da função r = 2 ( 1 + c o s ( θ ) ) em coordenadas cartesianas. Quando c o s ( θ ) = - 1 , o termo 1 + c o s ( θ ) atinge seu valor mínimo, resultando em r = 0 .

r = 2 1 + cos ⁡ θ

r = 2 1 - 1 = 0

Por outro lado, quando c o s ( θ ) = 1 , o termo 1 + c o s ( θ ) atinge seu valor máximo, resultando em r = 4 .

r = 2 1 + cos ⁡ θ

r = 2 1 + 1 = 4

- Esse gráfico terá uma forma de "petalas de rosa" se estendendo para fora da origem com 2 pétalas e raio variando entre 0 e 4 .

Essa curva, em coordenadas polares, representa a seguinte cardioide:

Resposta

A equação polar r = 2 ( 1 + c o s ⁡ ( θ ) ) descreve uma espiral com duas pétalas que se afasta da origem à medida que θ aumenta. Em coordenadas cartesianas, essa curva assume a forma de uma "rosácea", simétrica em relação aos eixos x e y , com pontos mais distantes da origem ocorrendo em ( ± 2 , 0 ) .

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