Enunciado

Se u t = r t ⋅ [ r ' t × r ' ' t ] , mostre que

u ' t = r t ⋅ [ r ' t × r ' ' ' t ]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que mostremos que a seguinte derivada

u ' t = r t ⋅ [ r ' t × r ' ' ' t ]

É verdadeira se

u t = r t ⋅ [ r ' t × r ' ' t ]

Para isso , vamos utilizar a regra da cadeia em u t :

u ' t = r ' t ⋅ r ' t × r ' ' t + r t ⋅ d d t r ' t × r ' ' t

Agora bora desenvolver!! 😉

Passo 2

Uma vez que o produto escalar de vetores ortogonais é nulo, concluímos que o termo

r ' t ⋅ r ' t × r ' ' t é nulo.

Assim, obtemos:

u ' t = 0 + r t ⋅ d d t r ' t × r ' ' t

Desenvolvendo a derivada do produto vetorial, teremos:

u ' t = r t ⋅ [ r ' ' t × r ' ' t + r ' t × r ' ' ' t ]

Passo 3

Por fim, sabemos que o produto vetorial de vetores iguais é nulo.

Portanto, r ' ' t × r ' ' t = 0 .

Assim a última equação se torna:

u ' t = r t ⋅ [ 0 + r ' t × r ' ' ' t ]

u ' t = r t ⋅ [ r ' t × r ' ' ' t ]

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados vec f (t) = t vec j + t^2 vec k e vec g (t) = t^2 vec j - t vec k , determinar:c) (vec f (t) xx vec f (t))^'
Dados vec f (t) = t vec j + t^2 vec k e vec g (t) = t^2 vec j - t vec k , determinar:a) (vec f (t) xx vec g (t))^'
Se f (t) = (1)/(t - 1) e vec f (t) = t vec i + t^2 vec j , determinar (f (t) vec f (t))^'
Se f → é uma função vetorial derivável e h t = f → t ,mostrar que f→ t ⋅ f ' → t = h t h ' t
Mostre que se r é uma função vetorial tal que exista r ' ' , então d d t r t × r ' ( t ) = r t × r ' ' ( t )