Enunciado

Uma partícula move-se com aceleração a t   m / s 2 ao longo de um eixo s

e tem velocidade v 0   m / s no instante t = 0 . Encontre o deslocamento e a distância percorrida por ela durante os intervalos de tempo.

a t = 3 ,     v 0 = - 1 ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Fala aí, como vai?

Nessa aqui a gente quer o deslocamento e a distância percorrida pela partícula. É o seguinte: pra calcular deslocamento, a gente faz:

∫ t 0 t 1 v t d t = s t 1 - s t 0

E pra distância, é o seguinte:

∫ t 0 t 1 v t   d t

Show! Bora trazer isso pros nossos casos agora...

Passo 2

Só que nesse caso a gente não tem a função v ( t ) 😫! E agora? Quem poderá nos defender?

Sorte a nossa que a gente sabe que:

v t = ∫ a t   d t

Então tá show! A gente descobre a função v ( t ) e depois joga naquelas outras lá.

v t = ∫ 3   d t = 3 t + C

Pra achar esse C a gente tem que v 0 = - 1 , então:

v 0 = 3 0 + C = - 1

C = - 1

Problema resolvido: nossa função v t = 3 t - 1 .

Passo 3

Agora a gente descobre o deslocamento aqui:

d e s l o c a m e n t o = ∫ 0 2 3 t - 1   d t

= 3 t 2 2 - t 0 2 = 6 - 2 = 4

E agora a distância:

d i s t â n c i a = ∫ 0 2 3 t - 1 d t

Aqui a gente vai ter que dividir a integral, então vem comigo!

Passo 4

Vamos ver o sinal da função:

3 t - 1 ≥ 0

3 t ≥ 1

t ≥ 1 3

O módulo vai ser positivo então a partir do ponto 1 3 . A gente vai dividir assim:

= ∫ 0 1 3 1 - 3 t   d t + ∫ 1 3 2 3 t - 1   d t

= t - 3 t 2 2 0 1 3 + 3 t 2 2 - t 1 3 2

= 1 3 - 3 2 1 9 + 3 2 4 - 2 - 3 2 1 9 + 1 3

= 1 3 - 1 6 + 6 - 2 - 1 6 + 1 3

= 4  

E prontinho! Achamos o deslocamento e a distância😉

Resposta

Deslocamento= 4   m

Distância = 4   m

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